第四题怎么做？高等数学难题

Question

高等数学证明难题

Answer 1

取g(x)=|f(x)|则g(x)为在[a,b]上连续的非负函数，且任意[a,b]上x，存在[a,b]上y,g(y)<0.5 g(x)

取数列x(n)使得x(n)是某个满足g(x(n))<0.5g(x(n-1))的值
显然g(x(n))单调减且大于0，所以必然收敛与某个值
设g(x(n))收敛与r>0，也就是对于任意的e>0，当n>N时 g(x(n))-r <e成立
取n=N+1,则g(x(N+1)) <e+r
则按照定义，存在x(N+2)使得g(x(N+2))<0.5g(x(N)) < 0.5 (r+e)
如果取e=r/2,则得到g(x(N+2)) <0.5(r+0.5r) <r这和g(x(n))单调减且收敛与r矛盾
所以g(x(n))最终必然收敛于0
而g(x)是连续函数，所以必然存在某个x(n)使得g(x(n))=0