已知抛物线y^2=2px(p>0)得焦点恰好是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点，

Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)得焦点恰好是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过F，则椭圆的离心率是？

Answer 1

解：由抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点F知，c=p/2；再由两条曲线的公共点的连线过F得
x=c
x^2/a^2+y^2/b^2=1
解得y^2=b^2(1-c^2/a^2) (1)
再由
x=c
y^2=2px=4cx
解得y^2=2pc=4c^2 (2)
综合(1)和(2)得
b^2(1-c^2/a^2)=4c^2
于是得
(1-e^2)(1-e^2)=4e^2
由于0<e<1解得
e=√2-1。