解答过程如下:
第1题:假设运动速度为v(t),那么根据题意得到阻力为-v,再根据牛顿第二定律得到mdv/dt=-v,又因为m=1,则解dv/dt=-v,将其变形为dv/v=-dt,两边求积分得到lnv=-t+C,代入初值,得到C等于lnv0,从而得到v(t)=v0×e^(-t),得到该式之后代入问题的数值,即可得解。
第二题:假设半球形雪堆的面积和侧面积。根据题意列出关系式,得到dr/dt=-k,将其变形为dr=-kdt,两边同时求积分,得到r等于-kt+C,代入初值解的r=r0-kt,再根据题意列出融化3小时后的体积关系,从而求出k=1/6×r0,得到该式r=r0-1/6×r0t,当雪全部融化,即r等于0,代入得t等于6。故得解。
53题,设时刻t的体积为V(t),半径为r(t),融化速度用dV(t)/dt表示。V(t)=(2π/3)r(t)^3
融化速度=dV(t)/dt=2πr²(t)dr(t)/dt
表面积=3πr²(t)
2πr²(t)dr(t)/dt=k×3πr²(t)
dr(t)=(3k/2)dt
r(t)=3kt/2十C
t=0,r(t)=C=r0
所以,r(t)=3kt/2十r0
t=3,V(3)=V(0)/8
(2π/3)r(3)^3=(π/12)r0^3
r(3)^3=r0^3/8
r(3)=r0/2
3k×3/2十r0=r0/2
9k/2=-r0/2
k=-r0/9
所以
r(t)=3(-r0/9)t/2十r0
=(-r0/6)t十r0
融化完,r(t)=0
-r0t/6十r0=0
t=6
上面的解法中,k〈0,与题意不符,V(t)是减小的,dV(t)/dt〈0,题目中的融化速度应该是正值,可以看成是-dV(t)/dt,-dV(t)/dt=kS(t),就能得到k〉0的结果。最后答案是一样的。
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