首先整理题主的问题：
（1）当x＜0的时候，函数1/x的不定积分（原函数）是ln|x|。为什么要加绝对值。
（2）当x＞0的时候，函数1/-x的不定积分（原函数）是多少？
好，我们可以发现题主的问题在于函数和原函数在负半轴的取值上，正半轴上的取值没有问题。
在下面的回答中有一个回答是：把-x代换成t。换言之把x∈(0,+∞)的问题改成t∈(-∞,0).形式上好像更好理解，其实也没有解决问题。
先说结论。我们知道F(x)=lnx的定义域是(0,+∞)，但是f(x)=1/x的定义域是(-∞,+∞).为了可以在定义域上统一，我们在x的取值上加上绝对值使其可以满足x为负数。
***我们现在规定不管是函数还是原函数，任意x均满足x∈(0,+∞)，为了避免麻烦使用到绝对值。
ln|x|的图像是关于y轴对称的。
ln|x|图像from百度
显然，F(x)=ln|x|是偶函数.即，F(-x)=F(x).
f(x)=1/x的图像是关于原点对称的
1/x图像from百度
显然，f(x)=1/x是奇函数.即，f(-x)=-f(x).
因此题主第二个问题∫1/(-x)dx即为-∫1/xdx=-lnx+C.
好，看到这里就会发现，这个答案似乎多了一个负号。
我们观察∫1/(-x)dx的积分图像
用红色阴影部分表示积分
（面积是无限的，我在这里只画了一小部分阴影表示一下）
这个积分结果没有问题，就是该面积的负数（-lnx+C）。
到这里基本上已经回答答主第二个问题了。如果还是觉得不应该有负号。
换一种思路：首先承认1/x的不定积分是ln|x|+C
当x大于0时，1/x的不定积分是lnx+C
当x小于0时，1/x的不定积分是ln(-x)+C
当x大于0，∫1/(-x)dx=∫1/td(-t)=-lnx+C
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