如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E

Question

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝ ． （1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．

Answer 1

（1）3；（2）证明见解析；（3） ．

试题分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可； （2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证； （3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积-扇形DOF的面积-扇形EOG的面积，求出即可． 试题解析：（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD= ， ∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO， ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC， 又∵OE为圆的半径， ∴AE为圆O的切线； （3）∵OD∥AC， ∴ ，即 ， ∴AC=7.5， ∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5， ∴S 阴影 =S △BDO +S △OEC -S 扇形FOD -S 扇形EOG = ×2×3+ ×3×4.5- =3+ - = ． 考点: 1.切线的判定与性质；2.扇形面积的计算．