高中数学十八题求解。。

Question

如题所述

Answer 1

（1）由题意 x≠0 x+1＞0 ∴x∈（-1,0）∪（0，+∞）
（2）单调递减 证明：
f（x）的导函数为1/x（x+1）-【1+ln（x+1）】/x² 假设f（x）存在极值点
当导函数为0时 x/（x+1）=ln（x+1）+1
（x+1）ln（x+1）=-1
令g（x）=xlnx （x＞0且x≠1） g（x）导函数为lnx+1 所以g（x）在（0，1/e）单调递减
在（1/e，1）∪（1，+∞）单调递增 所以g（x）≥g（1/e）=-1/e＞-1
所以（x+1）ln（x+1）＞-1恒成立 所以f（x）不存在极值点

所以1/x（x+1）-【1+ln（x+1）】/x²＜0恒成立
即f（x）在定义域内单调递减

第二问其实首先就可以直接判断单调性，lnx的增长速度恒小于x，然而一个是分子，一个是分母，所以就可以确定是单调递减的，严格的数学证明就是从没有极值点这一点出发，证明恒等式成立即可。

Answer 2

(1)x+1>0 x≠0
x>-1且×≠0
(2)①设x1，x2∈(-1,0)，x2>x1
f(x2)-f(x1)=[1+丨n(x2+1)/x2]-[1+ln(x1+1)/x1]
整理得[x1+x1ln(x2+1)]-[x2+x2丨n(x1+1)]/x1x2
根据x1，x2∈(-1,0)可得出f(x2)-f(x1)的正负
②x1，x2∈(0,+无穷)