所谓质数或称素数,就是一个正整数,除了本身和 1 以外并没有任何其他因子。例如 2,3,5,7 是质数。
除了本身和 1 以外还有其他因子的数交合数,如 4,6,8,9 则称为合数。
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质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,
是素数或者不是素数。
如果
为素数,则
要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。
1、如果 为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。
2、其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。
合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数,有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中,亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者,
(其中μ为默比乌斯函数且''x''为质因数个数的一半),而前者则为
注意,对于质数,此函数会传回 -1,且
。而对于有一个或多个重复质因数的数字''n'',
。
另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数,其因数有
。一数若有著比它小的整数都还多的因数,则称此数为高合成数。另外,完全平方数的因数个数为奇数个,而其他的合数则皆为偶数个。
合数可分为奇合数和偶合数,也能基本合数(能被2或3整除的),分阴性合数(6N-1)和阳性合数(6N+1),还能分双因子合数和多因子合数。
参考资料质数_百度百科
质数又称为素数,有无限个。合数,是一种数学用语,英文名为Composite number。
质数就是一个正整数,除了本身和1以外并没有任何其他因子,例如 2,3,5,7 都是质数。
合数,是一种数学用语,是指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他的数整除(不包括0)的数。1是比较特殊的,既不属于质数也不属于合数,最小的合数是4。
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一、分布规律
S1区间1——72,有素数18个,孪生素数7对。(2和3不计算在内,最后的数是孪中的也算在前面区间。)
S2区间73——216,有素数27个,孪生素数7对。
S3区间217——432,有素数36个,孪生素数8对。
S4区间433——720,有素数45个,孪生素数7对。
S5区间721——1080,有素数52个,孪生素数8对。
S6区间1081——1512,素数60个,孪生素数9对。
S7区间1513——2016,素数65个,孪生素数11对。
S8区间2017——2592,素数72个,孪生素数12对。
S9区间2593——3240,素数80个,孪生素数10对。
S10区间3241——3960,素数91个,孪生素数19对。
S11区间3961——4752素数92个,孪生素数17对。
S12区间4752——5616素数98个,孪生素数13对。
S13区间5617——6552素数108个,孪生素数14对。
S14区间6553——7560素数113个,孪生素数19对。
S15区间7561——8640素数116个,孪生素数14对。
二、合数与质数
只有1和它本身两个因数的自然数,叫质数(或称素数)。(如:由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因数只有1和它本身2这两个因数,所以2就是质数。
与之相对立的是合数:“除了1和它本身两个因数外,还有其它因数的数,叫合数。”如:4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很显然,4的因数除了1和它本身4这两个因数以外,还有因数2,所以4是合数。)
100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,一共有25个。
质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素数或者不是素数。
参考资料来源:百度百科-质数
参考资料来源:百度百科-合数
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