根据你的叙述与追问，这个问题需要明确五个法律点：第一，根据《合同法》第条、《遗产继承法》第17条第四款规定：1、如果你所说的“当时口头协议一半是你的”，是指奶奶生前与你之间有将属于她那一半产给你的的口头协议。由于没有及时办理赠与、产证上填上你的名字等必经程序，该口头协议在法律上应仍定为无效。2、如果你说的“当时口头协议一半是你的”，是指奶奶生前的口头遗嘱。虽然遗嘱继承优先于法定继承，但由于该遗嘱不符合口头遗嘱必须具备的重要形式要件（必须有两个以上见证人在场见证等），在法律上应认定该口头遗嘱无效。第二，依据《遗产继承法》第10条、第11条规定：1、属于奶奶的那一半产，应当由爷爷和奶奶的子女等第一顺序继承人，均等分割继承。2、孙子不属于奶奶的法定继承人，只有在孙子的父亲先于奶奶过世的情况下，孙子才有权代替父亲，继承父亲应当继承奶奶那一半产中的遗产份额。第三，遗产法定继承以父母与子女之间的血缘关系和爷爷、奶奶之间的姻亲关系为基本原则。1、奶奶过世时姑姑和爸爸不在场不等于他们不在世，不能成为剥夺他们继承奶奶遗产的法定理由。同理，孙子摔丧盆只是安葬先人时的一种地方习俗，不能成为孙子继承奶奶遗产的法定理由。2、爸爸在你年幼时抛弃你，妈妈可以在你未成年时作为代理人，追究你爸爸的遗弃罪。但不能成为你取代父亲继承奶奶遗产的法定理由。这是不同层面、适用于不同法条的两个问题。第四，根据《物权法》及相关法律规定，物权以产权登记为基本原则。由于该登记在爷爷的名下，只能认定为爷爷奶奶的共同财产。妈妈和你们四个子女一直生活在该屋内，也只能界定为借住。即使该属于你爸爸当年所盖，由于登记在爷爷名下，该的产权性质不会由此改变。只能由爷爷将爸爸当年盖时的成本支出作为债务，折合成现金支付给爸爸。且必须由爸爸亲自出面与爷爷协商解决。第五，由于该的一半（属于奶奶的那一半），已经转化成了遗产。正常情况下，不经过遗产继承的法定程序，爷爷一个人是不掉的。即使爷爷掉了，且人属于善意所得情况下，爸爸和姑姑等奶奶的第一顺序继承人，也有权通过法律途径，向爷爷追偿属于自己应当继承奶奶的那部分产份额的折价款。
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