鸡兔同笼问题 我国隋朝时间有部数学著作叫<孙子算经>,全书上,中,下三卷,书中介绍了乘,除,开方和分数的计算法则以及筹算.该书下卷选取的几个算术题饶有趣味,其中"鸡兔同笼",是一个有趣而具有深远影响的题目.至今,在小学算术应用题中还常常可见.
13.1 鸡兔同笼
题目是这样的:"今有鸡兔同笼,上有35个头,下有94只脚,问鸡兔各有多少.
1.程序设计思想
设:有x只鸡,y只兔,(总头数为h,总脚数为f)
我们把问题一般化,根据题意得到下列方程组:
x+y=h
2x+4y=f
用消元法得:
x=(4h-f)/2 y=(f-2h)/2
2.程序及运行结果
Private Sub Form_Click()
h = 35
f = 94
x = (4 * h - f) / 2
y = (f - 2 * h) / 2
Print "x="; x, "y="; y
End Sub
x=23 y=12 由此可知有23只鸡,12只兔.
13.2
二元一次方程组 1.程序设计思想
首先建立
数学模型,二元一次方程的一般式为:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
用消元法得:
x=(b2c1-b1c2)/(a1b2-a2b1)
y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)
我们只要输入二无一次方程组的系数,然后用赋值语句计算出方程的一组解,把它打印出来.
2.程序
Private Sub Form_Click()
a1 = Val(InputBox("a1="))
a2 = Val(InputBox("a2="))
b1 = Val(InputBox("b1="))
b2 = Val(InputBox("b2="))
c1 = Val(InputBox("c1="))
c2 = Val(InputBox("c2="))
x = (b2 * c1 - b1 * c2) / (a1 * b2 - a2 * b1)
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / (a1 * b2 - a2 * b1)
Print "x="; x, "y="; y
End Sub
1,2,3,4,2,6
x=1 y=1
13.3 三元一次方程组
1 程序设计思想
同二元一次方程组一样,建立数学模型,解出一组解, 根据方程组的解,能计算出它的一组解.并打印出来.(具体不叙述略)
2 程序及运行结果
Private Sub Form_Click()
a1 = Val(InputBox("a1="))
a2 = Val(InputBox("a2="))
a3 = Val(InputBox("a3="))
b1 = Val(InputBox("b1="))
b2 = Val(InputBox("b2="))
b3 = Val(InputBox("b3="))
c1 = Val(InputBox("c1="))
c2 = Val(InputBox("c2="))
c3 = Val(InputBox("c3="))
d1 = Val(InputBox("d1="))
d2 = Val(InputBox("d2="))
d3 = Val(InputBox("d3="))
d = a1 * b2 * c3 + a2 * b3 * c1 + a3 * b1 * c2 - a1 * b3 * c2 - a2 * b1 * c3 - a3 * b2 * c1
x = (d1 * b2 * c3 + d2 * b3 * c1 + d3 * b1 * c2 - d1 * b3 * c2 - d2 * b1 * c3 - d3 * b2 * c1) / d
y = (a1 * d2 * c3 + a2 * d3 * c1 + a3 * d1 * c2 - a1 * d3 * c2 - a2 * d1 * c3 - a3 * d2 * c1) / d
z = (a1 * b2 * d3 + a2 * b3 * d1 + a3 * b1 * d2 - a1 * b3 * d2 - a2 * b1 * d3 - a3 * b2 * d1) / d
Print
Print "x="; x
Print "y="; y
Print "z="; z
End Sub
3,2,1,2,3,1,1,1,3,39,34,26
x=9.25 y=4.25 z=2.75
13.4 百鸡问题
<张邱建算经>有三卷,大约写于5世纪后半叶,作者是张邱建,这是继<九章算术>之后我国数学史上一部辉煌著作,原书有一部已经失传,被保留下来的有92个题目,书中对二次方程问题,
等差数列问题和
不定方程问题等的论述达到了很高水平.
不定方程是数学研究中一个有趣课题,受到古今许多数学家的重视.所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,其解的组数不确定的方程(组),最早出现在二千多年前的中国,这比希腊丢番都(Diophantos,约公元246-330年)方程早三百多年,我国古代对不定方程的研究作出过重要贡献,其中"百鸡问题"就是<张邱建算经>书中有影响的不定方程问题.
"今有鸡翁一值五,鸡母一值三,鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁,母,雏各几何?
今译:一只公鸡的价格是5个钱,一只母鸡的价格是3个钱,三只小鸡的价格是1个钱,想用100个钱买一百只鸡,问公鸡,母鸡,小鸡各买几只?
1.程序设计思想
设x,y,z分别代表公鸡,母鸡,小鸡的只数.
首先确定x,y,z取值范围:
(1).若100个钱全买公鸡,则最多可买20只,即的取值范围是0-20
(2).若100个钱全买母鸡,则最多可买33只,即的取值范围是0-33
(3).当x,y在各自的取值范围内确定某个值后,则小鸡的只数
z=100-x-y 也确定了.
2.程序流程图(略)
3.程序及运行结果
Private Sub Form_Click()
Print "x", "y", "z"
For x = 0 To 20
For y = 0 To 33
z = 100 - x - y
If 5 * x + 3 * y + z / 3 = 100 Then
Print x, y, z
End If
Next y
Next x
End Sub
x y z
0 25 75
4 18 78
8 11 81
12 4 84
13.5 五家共井
<<九章算术>中有一道不定方程.是这样的:
"今有五家共井,甲二绠(提水用的井绳)不足如乙一绠,乙三绠不足如丙一绠,丙四绠不足如
丁一绠,丁五绠不足如一绠,戊六绠不足如丁甲一绠.各得所不足一绠,皆逮,问井深绠长几何?"
1.程序设计思想
设井深为x,甲家提水绳的长为a,乙家提水绳的长为b,丙家提水绳的长为c,丁家提水绳的长为d,戊家提水绳的长为e,
根据题意得方程组:
2a+b=x
3b+c=x
4c+d=x
5d+e=x
6e+a=x
化简得: 148x=721c
我们设计一个循环结构,循环变量x从初值50递增到1000,找出满足方程的整数值的解.然后再计算a,b,c,d,e的值.
2.程序及运行结果
Private Sub Form_Click()
For x = 50 To 1000
c = 148 * x / 721
If c = Int(c) Then
d = x - 4 * c
e = x - 5 * d
a = x - 6 * e
b = x - 2 * a
Print "x="; x
Print "a="; a, "b="; b, "c="; c
Print "d="; d, "e="; e
Exit For
End If
Next x
End Sub
x=721
a=265 b=191 c=148 d=129 e=76