二次型坐标变换和正交变换的关系

Question

如题所述

Answer 1

二次型坐标变换和正交变换的关系：二次型的变换是合同变换，所以必须用正交矩阵。

化规范型所用的变换是合同变换，不一定是相似变换，正交变换既是合同变换又是相似变换。对应的变换矩阵没有直接联系，它们都是可逆矩阵都不是唯一的，正交变换所得标准形的平方项系数都是特征值，正交矩阵的列向量都是特征向量，配方法所得不一定。

分类

设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。

若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。

若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。

第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。