费马定理是数学史上一个著名的猜想，由法国数学家费马提出。他推测，如果\( n \)是一个质数，那么对于任何自然数\( a \)，\( a^n + b^n \)一定能被\( n \)整除。这个猜想后来被证明是正确的，被称为费马小定理。例如，假设\( n = 11 \)是一个质数，\( a = 2 \)是一个自然数，那么\( 2^{11} + 1 \)一定能被\( 11 \)整除。
费马定理是目前最有效的方法之一，用于鉴定大数是否为质数。判断一个数\( n \)是否为质数，首先尝试将其除以小于\( n \)的质数。如果\( n \)不能被整除，那么它很可能是质数；如果可以被整除，那么\( n \)很可能是合数。在现代，使用电子计算机，可以迅速鉴定上百位的数是否为质数，通常只需要大约15秒。
在寻找质数公式方面，历史上有一些著名的公式，例如\( f(x) = x^2 - 79 + 1601 \)，在100以下就有多个合数使得该公式成立。但是，是否存在一个质数公式\( f(x) = x^2 + x + b \)，使得连续的\( b - 1 \)个\( x \)值对应的\( f(x) \)都是质数，这个问题至今未解。有研究表明，如果这样的公式存在，那么\( b \)的值必须超过125亿，并且最多只有一个这样的公式。
当代数学家在质数研究领域有两个主要方向：一是开发更高效的筛选方法以寻找更大的质数；二是寻找新的梅森质数。截至1996年，数学家们通过计算机运算已经确定了10^20以内的所有质数。到了1999年6月，数学家们发现了第38个梅森质数：\( 2^{6972593} - 1 \)，这也是迄今为止已知最大的质数，它是一个2098960位的数。
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