如何用正则性公理证明一个集合不能将其自身作为元素

Question

最好严密些...求大神!!

Answer 1

正则公理在一阶逻辑中可叙述如下:

翻译为较容易理解的说法就是:

所有非空集合 A 中至少有一个这样的元素 x ， 它与A 本身的交集为空。即

从这个公理就可以得出“不存在以自身为元素的集合”，即你说的“一个集合不能将其自身作为元素"

详细证明一下：

反设 A 是一个集合，使得 A 是自身的一个元素，即：

这时，根据配对公理，可以构造出 B = {A}，它也是一个集合。由于B中只有一个元素A，根据正则公理，我们得到：

但是根据我们的假定有

及

所以。这与正则公理相矛盾！

于是这样的A不是集合。

要是还不懂的话，看看这个

http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html

Answer 2

请具体你的问题。