矩阵|A|的倒数表示的意思是A行列式分之一，没有特别的含义，但是其在数值上的等于矩阵A的逆矩阵的行列式值，当一个矩阵存在逆矩阵时，我们常通过矩阵A的倒数来求逆矩阵行列式的值。
推导的过程如下：因为AA^-1=E，所以我们对于等式的两边同时取行列式，得出|AA^-1|=1，然后根据行列式的乘法性质得出|A||A^-1|=1，又因为矩阵存在逆矩阵所以|A|不等于0，所以|A^-1|=1/|A|。
以上的推导过程主要就是使用了矩阵的乘法和行列式的性质。
可逆矩阵的判定：
1、证明|A|不等于0，
2、找一个同阶矩阵B，验证AB=BA=E。
3、证明的A行向量（或列向量）线性无关。
可逆矩阵的重要性质：
1、若A为可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
2、设A、B是数域p上的n阶矩阵，k属于p。
3、A、B均可逆等价于（AB）^（-1）=（B^（-1））（A^（-1））。
以上内容参考：百度百科-可逆矩阵
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