不可以。
理论上退学就会失去留学签证。也就不能待在日本了。你自己退学也好被学校退学也好，入管局最终都会得到通知。休学也一样不能待在日本，因为留学签证是为了在日本学习，大前提不存在了，就无法待在日本。所以休学的人一般也是要回国的。
3个月之内还是维持你之前留学签证的身份。不需要特别办理。但大前提是你留学签证没有到期。
可以留在当地，前提是只要找到工作（非打工性质）。
具体签证申请材料看入管局。
关于日本留学的一些建议：
（1）选择日本大学的预科。
首先，这是只有私立大学才有的，而且一般都是比较有名的私立大学，例如早稻田，庆应，同志社等等。学习内容和语言学习有些相同。包括语言的学习，日本社会的风俗习惯文化学习。不过不包括对升学的指导，到时候升学还是和语言学校的同学一样，参加留考等取得各种资格才可以申请学校。
对于申请你所在的预科的语言学校，存在一些优势。比如说，成绩特别突出者，可以不需要经过留考等那些第一次选拔，直接参加你所申请学部自己的考试，并且在面试时不可否认，存在优势。
但是缺点就是，在对于其他学校的申请方面，预科教授的东西完全没有语言学校来的强大。
关于预科的课程内容，我是参考的是早稻田和庆应的预科说明，每个学校应该都差不多，可能有差异。可以自己上学校官网去下载，有中文版。
（2）大家所摒弃的语言学校。
语言学校顾名思义就是教授语言的地方。同时也和预科一样有对日本社会的介绍，帮助同学们理解日本社会融入生活，并且教授你以后收入大学后会用的一些技能，比如说论文的写法，各种生活中的礼仪，用语，行为习惯等等。
这些可能和预科差不多，不过毕竟没去过预科没，不能断言。此外！语言学校还提供升学科目的指导，比如说一般大学都需要的留学试验的准备，日语科目不用说，还有综合科目，数学理综的话似乎是得靠自己，不过可能有的语言学校有也不一定……不过周日周六有塾好像可以学这些，不过这语言学校和预科都没有关系。