求arctan(atanx)/tanxdx在0-派/2上的积分

Question

如题所述

Answer 1

分享一种解法。设I(a)=∫(0,π/2)arctan(atanx)dx/tanx。∴原式=I(a)，且I(0)=0。
由I(a)对a求导，∴I'(a)=∫(0,π/2)dx/[1+(atanx)²]。再令tanx=θ。
∴I'(a)=∫(0,∞)dθ/[(1+a²θ²)(1+θ²)]=[1/(θ²-1)][atctanθ-(1/θ)artan(θa)]丨(θ=0,∞)=(π/2)/[a(1+a)]。
∴原式=I(a)=∫(0,a)I'(a)da=(π/2)ln[a/(1+a)]。
供参考。