正弦(zhèng xían):sin(sine的缩写),读作:sain,音标[saɪn](赛因)"赛"重读,"因"轻读。
余弦(yǘ xían):cos(cosine的缩写),读作:'kou sain,英/ˈkəʊsaɪn/ 美/ˈkoʊsaɪn/(扣赛因)"扣"重读,"赛因"轻读针特"轻读。
正切(zhèng qīe):tan(tangent的缩写),读作:'tan zhen te,读音 英/ˈtændʒənt/ 美/ˈtændʒənt/(探针特)"探"重读,读音 英/ˈtændʒənt/ 美/ˈtændʒənt/(探针特)"探"重读,"针特"轻读。
余割(yǘ gē):csc(cosecant的缩写),读作:kou sai kente,
正割(zhèng gē):sec(secant的缩写),读作:si ken t,
余切(yǘ qiē):cot(cotangent的缩写),读作:'kou tan zhen te。
三角函数(sān jiǎo hán shù)(Trigonometric Function,chuai'gona mai chuik fankshen):三角函数是基本初等函数之一,是以角度(常用弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数的由来:正弦是最重要也是最古老的一种三角函数。早期的三角学,是伴随着天文学而产生的。古希腊天文学派希帕霍斯为了天文观测的需要,制作了一个"弦表",即在圆内不同圆心角所对弦长的表,相当于现在圆心角一半的正弦表的两倍。这就是正弦表的前身,可惜没有保存下来。希腊的数学转入印度,阿耶波多作了重大的改革。一方面他定半径为3438,含有弧度制的思想。另一方面他计算半弦(相当于现在的正弦线)而不是希腊人的全弦。他称半弦为"jiva",是猎人弓弦的意思。后来印度的书籍被译成阿拉伯文,"jiva"被音译成"jiba",但此字在阿拉伯文中没有意义,辗转传抄,又被误写成"jaib",意思是胸膛或海湾。12世纪,欧洲人从阿拉伯的文献中寻求知识。1150年左右,意大利翻译家杰拉德将"jaib"意译为拉丁文"sinus",这就是现存sine一词的来源。英文保留了sinus这个词,意义也不曾变。
sinus并没有很快地被采用。同时并存的正弦符号还有Perpendiculum(垂直线),表示正弦的符号并不统一。计算尺的设计者冈特在他手画的图上用sin表示正弦,后来,英国的奥特雷德也使用了sin这一缩写,同时又简写成S。与此同时,法国的埃里冈在《数学教程》中引入了一整套数学符号,包括sin,但仍然没有受到同时代人的注意。直到18世纪中叶,逐渐趋于统一sin。余弦符号ces,也在18世纪变成现在cos。
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号(Signs for trigonometric functions),但当时并无函数概念,于是只称作三角线( trigonometric lines)。他以"sinus 1m arcus"表示正弦,以"sinus 2m arcus"表示余弦。而首个真正使用简化符号表示三角线的人是 T.芬克。他于1583年,创立以"tangent"(正切)及"secant"(正割)表示相应之概念,其后他分别以符号"sin."、"tan."、"sec."、"sin.com"、"tan.com"、"sec.com"表示正弦、正切、正割、余弦、余切、余割。首三个符号与现代之符号相同,后来的符号多有变化。
三角函数共有六个,它们分别是:正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余割(csc)、正割(sec)、余切(cot)。
正弦:sin(sine的缩写,读作:sain),在直角三角形中,一个角α的正弦值为角α的对边比直角三角形的斜边,定义单位圆(直角坐标系中以原点为圆心,半径为1的圆),将角α的顶点移到圆心,则角的终边会与圆交于一点P(x,y)。角α的正弦值用P的纵坐标比圆的半径来定义。
余弦:cos(cosine的缩写,读作:'kou sain),在直角三角形中,一个角α的余弦值为角α的邻边比直角三角形的斜边,在单位圆中,角α的余弦值用P的横坐标比圆的半径来定义。
正切:tan(tangent的缩写,读作:'tan zhen te),在直角三角形中,一个角α的正切值为角α的对边比角α的邻边,在单位圆中,角α的余弦值用P的纵坐标比P的横坐标来定义。
余割:csc(cosecant的缩写,读作:kou sai kente),角α的正弦与余割互为倒数。
正割:sec(secant的缩写,读作:si ken t),角α的余弦与正割互为倒数。
余切:cot(cotangent的缩写,读作:'kou tan zhen te),角α的正切与余切互为倒数。
下图表示了角α的三角函数的定义。
下面列出了一些特殊角的三角函数值。
三角函数的诱导公式:
sin(-α)=-sin(α)
cos(-α)=cos(α)
sin(π-α)=sin(α)
cos(π-α)=-cos(α)
sin(π+α)=-sin(α)
cos(π+α)=-cos(α)
三角函数两角和与差的公式:
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)
cos(α-β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
三角函数和差化积公式:
积化和差公式:
二倍角公式
sin(2α)=2sin(α)cos(α)
cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)
半角公式
万能公式:
化一公式:
其它公式:
双曲函数(式中e为自然底数的对数):
