如图的电路常称分压电路,当a,b间的电压为U时,利用它可以在c,d端获得0和U之间的任意电压。 证明该结论

Question

我知道问题很简单 但是如何用数学证明？不要用语言说明

要引入负载电阻吗？

Answer 1

不需要引入负载电阻，那样分析会麻烦些。
设电位器滑动触片到下端子的电阻为Rx，则≦Rx≦R
因为没有负载时，电位器的上下两部分构成串联分压电路
Ucd=U×Rx/R
显然 Rx=0时，Ucd=0，Rx=R时，Ucd=U，而Rx在0-R之间时，Ucd在0-U之间变化。
任意给定一个0-U之间的Ucd，都可以通过上式求得唯一的Rx值，所以利用它可以在c,d端获得0和U之间的任意电压。

Answer 2

证明也很简单
设CD间电阻为x;
则Ucd=Uab/R*x;
因为x属于[0,R]，且上述等式为线性;
所以当x为0时，Ucd获得最小值，0V;
当x为R时，Ucd获得最大值Uab追问

当CD之间有电阻时应该是滑动变阻器下部分与它并联的关系，应该不是简单的相加吧

追答

没有并联的关系，你可以认为是Ra与Rb的串联(Ra+Rb=R)。
关于电阻分压问题，你可以看一下这个网页：
http://wenku.baidu.com/link?url=VCir7CdbEKbRw0pcUiPlxbbqWXM1afERNGC1L9EZumtUESA5CndM1zcAxJI0wQshUw9Q9SCoE6gQjQhvhV-RDZL67h1WZieZEfFebsvA4k_

Answer 3

在cd端接入负载电阻R3,将R视为上下两部分，上部为R1（串联在电路中），下部R2（与R3并联），设R=R1+R2。

则线路总电阻为R总=R1+(R2*R3)/(R2+R3)=(R-R2)+(R2*R3)/(R2+R3),

总电流I总=U/R总=U/[(R-R2)+(R2*R3)/(R2+R3)],

且I1=I总，故U1=R1*I1=(R-R2)*U/[(R-R2)+(R2*R3)/(R2+R3)]

所以U2=U-U1=U-(R-R2)*U/[(R-R2)+(R2*R3)/(R2+R3)]

           =U*{1-(R-R2)/[(R-R2)+(R2*R3)/(R2+R3)]}

           =U*{1-1/{1+(R2*R3)/[(R-R2)*(R-R2)]}}

           =U*{1-1/[1+R3/(R+R*R3/R2-R2-R3)]}

由该式子可知，U2的最大值为U（当R2=R，即滑动到最上端时），最小值为0（当R2=0，即滑动到最下端时），中间则可实现从0~U的变化