no ,not, don't,虽然都是表示否定，但是no后面一般接名词，比如说：no student, no book,你所举的例子no smoking中的smoking是一个
动名词，说白了还是名词。
not 一般不单独用，和
be动词（am,is,are及其过去时），
助动词(do)还有
情态动词(can,may,must...很多哈。。。)搭配，don't就是do not的缩写，是
一般现在时态的否定句，例如：I like reading.变成否定句时就用I don't like reading.
我们不会说Not Smoking或Don't smoking哈！这是英语中的习惯表达，没有为什么。。。
be/come/get back之类的短语，你就当成一个短语来记住哈，不能去掉哦！
最后一个句子你要记住两个词的用法，seem有一个短语是seem to do sth.,busy呢你就要记住是be busy (doing sth.),所以你句子中的to be肯定不能省掉。
这样子和你讲，你懂了吗？