三角形的四心的有关性质

Question

三角形的重心、内心、垂心、外心的有关定义、性质及运算规律，越详细越好，谢谢！

Answer 1

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.

圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)

圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2

三、垂心

三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角
三角形的垂心在三角形外。
四、内心
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.

张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

五、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.

例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.

三角形有三个旁切圆，三个旁心.

重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理 三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理 三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

Answer 2

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.

1.垂心
三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.

2.重心
三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心

4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，

重心 三边上中线的交点
垂心 三条高的交点
内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点
外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

Answer 3

　事实上,三角形有五心,但旁心并不常用.因此常被称为四心.三角形的五心
　　三角形的五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心.等边三角形的四心重合,旁心不与其他四心重合.一、三角形的重心
　　三角形的重心是三角形三条中线的交点.·三角形的三条中线必交于一点
　　线AD、CF相交于点O,连结并延长BO,交AC于点E.·三角形的重心的性质
　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.　　4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3
纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点.二、三角形的外心
　　三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心).·三角形的三条垂直平分线必交于一点·三角形的外心的性质
　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.
　　2三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合　三、三角形的内心
　　三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心).三角形的内心的性质
　　1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心　　2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r　　3.r=2S/(a+b+c)　　4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2．　　5.∠BOC
=
90
°+∠A/2
∠BOA
=
90
°+∠C/2
∠AOC
=
90
°+∠B/2　　6.S△=[(a+b+c)r]/2
(r是内切圆半径)四、三角形的垂心
　　三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示).·三角形的三条高必交于一点
三角形的垂心的性质
　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外　　2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心　　3.
垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上　　4.△ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO·OD=BO·OE=CO·OF
　　5.
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).　　6.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是等圆.　　7.在非直角三角形中,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则
AB/AP·tanB+
AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
　　8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.　　9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.　　10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.　　11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.

Answer 4

还有一个旁心 旁切圆的圆心