32和40的最大公因数是8
(具体解法见最后面)
首先要弄清什么是最大公因数:
最大公因数,也称最大公约数,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。
质因数分解法
质因数分解法:把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如:求24和60的最大公约数,先分解质因数,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24与60的全部公有的质因数是2、2、3,它们的积是2×2×3=12,所以,(24、60)=12。
短除法
短除法:短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。
短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行。
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。
而在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。
求最大公因数便乘一边,求最小公倍数便乘一圈。
无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。这时就需要用新的方法:辗转相除法和更相减损法。(因为不常用,这里不作陈述。)
针对本题我利用质因数分解法解答如下:
解:
32=2×2×2×2×2
40=2×2×2×5
32和40全部公有的质因数是2、2、2
它们的积是2×2×2=8,
所以,(32、40)=12。
即32和40的最大公因数是8。