一道高中数学求证题

Question

设S={x||x|<1},在x中定义一种运算“*”对s中的任意实数a，b都有a*b=（a+b）/(1+ab)，求证：若a∈s，b∈s，则a*b∈s

Answer 1

因为a,b的绝对值都小于1，所以(a2+b2)/2<1,所以，(ab+1)>(a2+b2)/2+ab>0
所以，a*b=(a+b)/(1+ab)<(a+b)/((a2+b2)/2+ab)
而(a2+b2)/2+ab可化简成1/2(a+b)2
所以，a*b<(a+b)/(1/2(a+b)2)=1/(1/2(a+b))=2/(a+b)
而|a+b|<=|a|+|b|<2,所以，-2<(a+b)<2,所以，|2/(a+b)|<1
所以|a*b|<1,a*b∈s
得证。

Answer 2

原题目实际上上是要证明：
对于任意的|a| < 1和|b| < 1 都有结果：| (a+b) / (1+ab) | < 1 总成立
证明：
因为：(a - 1) (b - 1 ) > 0
所以：ab + 1 - a - b > 0
a + b < ab + 1 ①
又因为：|a| < 1和|b| < 1 ===> -1 < ab < 1 ===> 0 < ab + 1 < 2
===> -2 < a + b < 2
所以： -1 < (a + b) < / (ab + 1) < 1 --------------同除大于0的数字，不等式号不变的
所以：| (a+b) / (1+ab) | < 1 总是成立

Answer 3

首先，-1<a,b<1,由（a+b)/(1+ab)<1知a+b-ab-1<0,等价于a+b<1+ab,不妨设a>0(a,b<0时左式显然成立）即1+(b-1)/a<b-1,知该式也成立，故a+b-ab-1<0,同理a+b+ab+1>0,所以a*b∈s

Answer 4

问题要证 |a+b/1+ab|<1 |a|<1 |b|<1
假设 （a+b)/(1+ab)>=1
(a+b)^2-(1+ab)^2>=0
(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)<=0 （由条件得它大于0）
所以假设不成立