束缚态一定具有离散能级吗?

Question

量子力学中，束缚态，比如无限深势阱，谐振子势，都具有分立的能级；而散射态，比如自由粒子，E>0的delta势阱等，都具有连续的能谱。
故请问：是否一般的束缚态一定只给出分立能级，同样散射态只有连续谱？有没有一般的证明？能否简单说明。或给一个参考资料也可以。
谢谢！

Answer 1

首先，分立能级一定是束缚态，散射态一定是连续谱。连续能谱中有可能存在偶然的束缚态，但一定是对应一个特定的本征值（能量），而在这个值的邻域所对应的都是散射态，因此并不具备物理意义（（1）在连续谱中实验恰好取到这个能量的概率是0。（2）即使瞬时可以做到，由于系统和环境之间的相互作用，肯定会破坏这个束缚态），我们不应该认为这是个“真实”的束缚态，因此说束缚态一定有离散能级不应算错。详情可参阅朗道的《量子力学（非相对论理论》§10定态和§18 薛定谔方程的基本性质。
分立能级具有束缚态的简单理解是，对于分立能级的任意一个本征波函数，它的模方对全空间积分应该是有限值（从而可以归一化，几率解释才可以成立），因此必然在无穷远处要趋于零，因此是束缚态。