勾股定理的三个证明方法为面积相等法、相似三角形法和四边形法。
1、面积相等法:
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形。则每个直角三角形的面积等于1/2ab。设AEa,BE=b,CE=c,作DE⊥BC于E。
则△ADE和△BCE是两个相似的三角形,它们的面积之比为AE/EC=a/c,BC/EB=b/c。因此,两个相似三角形的面积之比为ab/(ab+bc)=(a2+b2)/c^2。所以,a^2+b^2=c^2。
2、相似三角形法:
作直角三角形ABC,以斜边c为底边,分别以直角边a、b为高,作两个相似的三角形△ADB和△CEB。则有AB/BD=BC/CE,即AB*CE=BC*BD。
由于BD=a,CE=b,所以AB*b=BC*a。同理,AC*BD=AB*CE,可得AC*a=AB*b。将上述两式相加得:AB*(a+b)=BC*(a+b)。因此,a^2+b^2=c^2。
3、四边形法:
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c。将这四个三角形拼成一个边长为c的正方形,该正方形的面积为c^2。
同时,这四个三角形也可以拼成一个边长为a+b的矩形,该矩形的面积为(a+b)*c/2。由于这两个图形的面积相等,所以有c^2=(a+b)*c/2。解得a^2+b^2=c^2。
以上这些证明方法只是勾股定理众多证明方法中的一部分,实际上,千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要,甚至有国家总统。据说,现时世上一共有超过300个对勾股定理的证明。