一、函数的单调探索</
定理1揭示了导数与单调性的密切关系：若函数在区间上可导，若导数在该区间内恒正（负），则函数严格单调递增（减）。</拉格朗日中值定理的应用，使我们能够通过导数的变化判断单调性。推论进一步强化了这一原理，指出函数在特定区间上具备严格的单调性。
例题中，通过图像分析，我们发现函数 在(-\infty,-1)和(1,+\infty)上单调递增，在(-1,1)上单调递减</，关键的分界点是驻点和不可导点。
2. 极值的探寻</
极值的定义为我们理解函数行为提供了关键视角。定理1指出，连续且可导的函数在极值点处导数改变符号，提供了寻找极值的线索。而定理2则深入探讨了二阶导数的作用，通过它我们可以判断极大值或极小值的确立。
举例来说，函数 在x=1处取极大值，在x=2处取极小值</，而另一函数在驻点处出现极小值，但端点也可能影响最值。
三、设计与优化：最小材料使用策略</
在实际问题中，如设计有盖圆柱形水池，我们关注的是在给定体积的条件下，如何选择材料以实现成本最小。通过求解导数，找到体积函数的驻点，我们得知 驻点处可能对应最小成本</，进一步分析该点的导数变化，确定最优化策略。
这个例子展示了数学在解决实际问题中的力量，将理论知识与实际应用相结合，创造出最优化的解决方案。
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