如图,将边长为2的正方形ABCD折叠,使点B的对应点M始终都在AD边上,EF为折痕,点C对应点为点N？

Question

如图,将边长为2的正方形ABCD折叠,使点B的对应点M始终都在AD边上,EF为折痕,点C对应点为点N,过点B作BK垂直MN于点K,点P为CD中点,连接PK,则求线段PK的最小值为多少?
答案是√5-2
求个详细过程_(:3 」∠)_

Answer 1

首先，由于ABCD是正方形，边长为2，所以AB=BC=CD=DA=2。
设AM=x，由于M是B的对应点，根据折叠的性质，有BM=2。
在直角三角形ABM中，根据勾股定理，有：
BM2=AB2+AM2
22=22+x2
x2=0
但x不能为0（因为M在AD上），所以这里实际上表示AM是垂直于AB的，即AM=0，但这是不可能的。
实际上，由于M在AD上，x的取值范围是0<x<2。
在直角三角形ABM中，利用勾股定理，有：
BM=AB2+AM2=4+x2
由于EF是折痕，根据折叠的性质，有BE=EM。
在直角三角形BEM中，利用勾股定理，有：
BE2=BM2−ME2
BE2=4+x2−(2−x)2
BE2=4x
由于BK⊥MN，根据三角形的面积公式，有：
S△BMN=21×MN×BK=21×BM×BE
由于MN=BC=2，代入得：
BK=MNBM×BE=24+x2×4x
接下来，考虑PK的长度。由于P是CD的中点，PC=21×CD=1。
在直角三角形PKC中，利用勾股定理，有：
PK2=PC2+CK2
PK2=12+(2−BK)2
PK2=1+(2−24+x2×4x)2
为了找到PK的最小值，我们需要找到BK的最大值。由于BK是x的函数，我们可以通过求导找到其最大值。但这里为了简化，我们可以观察到当x接近0时，BK接近2（因为M接近A，BM接近AB），此时PK接近最小值。
当x=0时（虽然实际上M不能到达A，但这是一个极限情况），BK=2，CK=0，所以PK=1。
因此，线段PK的最小值为1。

Answer 2

给个思路，点K的轨迹是以点B为圆心，半径为2的圆弧。所以pk的最小值即p到圆弧的距离的最小值

Answer 3

详细过程见图片。

答案：根号5-2。

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Answer 4

解法
特殊情况：点M与点D重合
当点M与点D重合时，三角形ABK变成一个等腰直角三角形，且AB = BK = 1。根据勾股定理，PK = √2。
一般情况：点M位于AD边上
当点M位于AD边上时，三角形ABK仍然是一个直角三角形，但AB和BK的长度会发生变化。设点M到点A的距离为x，则AB = 1 - x，BK = x。根据勾股定理，PK^2 = (1 - x)^2 + x^2 = 2x^2 - 2x + 1。
为了使PK^2最小，我们需要使2x^2 - 2x + 1最小。我们可以通过平移的方法来完成：
将2x^2 - 2x + 1移项得到：2x^2 - 2x = 1 - (2x^2 - 2x + 1) = 2 - (x - 1)^2。
由于(x - 1)^2 ≥ 0，所以2 - (x - 1)^2 ≤ 2。
等号成立的条件是x = 1，此时2x^2 - 2x + 1 = 2 - (1 - 1)^2 = 2 - 0 = 2。
因此，PK^2的最小值为2，此时PK = √2。
结论
线段PK的最小值为√2，发生在点M与点D重合时。
答案
√2