彻底搞懂傅里叶变换之实用干货分享(二)-傅里叶级数

Question

如题所述

Answer 1

让我们深入理解傅里叶级数这一实用工具。傅里叶级数是周期函数的一种特殊表示，它利用一组周期性三角函数来逼近非周期函数。任何满足迪利克雷收敛条件的周期函数，都可以用傅里叶级数展开，这个展开过程就像用不同周期的三角函数构建一个函数的近似模型。

关键概念包括：

三角级数：除了多项式级数，它利用正交的三角函数（如1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x)等）逼近函数。
正交性：一组正交函数如cos(x)和sin(x)在单位周期内的积分结果为0，这是它们正交的定义。
傅里叶级数的公式：对于周期为2l的函数，其级数展开形式如公式所示，包括an和bn的系数。
处理非周期函数：通过奇延拓或偶延拓扩展函数定义，使其变为周期函数，然后应用傅里叶级数。

例如，非周期矩形波函数的傅里叶级数计算中，欧拉公式和系数cn的表达式起到了关键作用。在Python中，通过计算cn并将其代入公式，我们可以得到矩形波的近似表达，代码验证了这一过程的准确性。