第1个回答 2011-01-19
一、选择题(每题2分,共20分)
1.下列各式中,是二次函数的有( )
(1)y=2x2-3xz+5;(2)y=3-2x+5x2;(3)y=+2x-3;(4)y=(2x-3)(3x-2)-6x2;(5)y=ax2+bx+c;(6)y=(m2+1)x2+3x-4;(7)y=m2x2+4x-3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图26-23,函数y=ax2和y=-ax+b在同一坐标系中的图象可能为( )
3.下列抛物线中,开口向上且开口最小的抛物线为( )
A.y=x2+1 B.y=x2-2x+3 C.y=2x2 D.y=-3x2-4x+7
4.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴没有交点,则k的值范围为( )
A.k>- B.k≥-且k≠0 C.k<- D.k>-且k≠0
5.二次函数图象y=2x2向上平移1个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的关系式为( )
A.y=2(x+3)2+1 B.y=2(x-3)2+1 C.y=2(x+3)2-1 D.y=2(x-3)2-1
6.二次函数y=2(x-1)2-5的图象开口方向,对称轴和顶点坐标为( )
A.开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点(-1,-5) B.开口向上,对称轴为直线x=1,顶点(1,5)
C.开口向下,对称轴为直线x=1,顶点(1,-5) D.开口向上,对称轴为直线x=1,顶点(1,-5)
7.如图26-24是二次函数y=ax2+bx+c的图象,点P(a+b,ac)是坐标平面内的点,则点P在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点是(-1,-3),则b、c的值为( )
A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4
9.如果二次函数y=ax2+bx+c中,a:b:c=2:3:4,且这个函数的最小值为,则这个二次函数为( )
A.y=2x2+3x+4 B.y=4x2+6x+8 C.y=4x2+3x+2 D.y=8x2+6x+4
10.抛物线的顶点坐标为P(1,3),且开口向下,则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围为( )
A.x>3 B.x<3 C.x>1 D.x<1
二、填空(每题2分,共20分)
11.请你任写一个顶点在x轴上(不在原点)上的抛物线的关系式 .
12.已知二次函数y=x2-4x-3,若-1≤x≤6,则y的取值范围为 .
13.抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为(2,3),则a= ,c= .
14.二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .
15.不论x取何值,二次函数y=-x2+6x+c的函数值总为负数,则c的取值范围为 .
16.抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上,则b= .
17.直线y=2x+2与抛物线y=x2+3x的交点坐标为 .
18.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A、B,与y轴交于点C,且∠ACB=90°,则a= .
19.若二次函数y=(m+8)x2+2x+m2-64的图象经过原点,则m= .
20.将抛物y=2x2+16x-1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .
三、解答题(每题12分,共60分)
21.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反,形状相同,顶点坐标为(3,5).
(1)求抛物线的关系式;
(2)求抛物线与x轴、y轴交点.
22.用图象法求不等式x2-5x-6<0的解集.
23.如图26-25所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B,与y轴交于点C,且∠ACB=90°,AC=12,BC=16,求这个二次函数的关系式.
24.直线y=x-2与抛物线y=ax2+bx+c相交于(2,m),(n,3)两点,抛物线的对称轴是直线x=3,求抛物线的关系式.
25.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形的一边为xm,面积为Sm2.
(1)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用;
(3)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)
参考资料:①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形;②≈2.236.
参考答案
一、1.B 点拨:(2)、(6)是二次函数.
2.D 点拨:a>0时,y=ax2开口向上,y=-ax+b过一、三象限.
3.C 点拨:开口向上需二次项系数大于0,故D错;开口最小,则二次项系数绝对值最大.
4.C 点拨:∵函数图象与x轴无交点,∴=-(7)2-4×(-7)k<0.解得k<-.
∵是二次函数,∴k≠0,∴k<-.
5.B 6.D
7.D 点拨:开口向上,a>0.∵对称轴在y轴左侧,∴a、b同号.∴b>0.∵与y轴交于x轴下方,∴c<0.∴a+b>0,ac<0.∴P(a+b,ac)在第四象限.
8.D 点拨:二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点为(-1,-3),即顶点为(-1,-3),∴y=-(x+1)2-3=-x2-2x=4.∴b=-2,c=-4.
9.B 解法一:设a=2k,b=3k,c=4k.∵函数最小值为,∴.解得k=2.
∴a=4,b=6,c=8.∴y=4x2+6x+8.
解法二:由a:b:c=2:3:4首先排除C、D,然后将A、B逐个验证,看是否等于.
10.C 点拨:∵抛物线开口向下,且对称轴为直线x=1,∴当x>1时,y随x的增大而减小.
二、11.y=x2-2x+1 点拨:所求二次函数满足=b2-4ac=0即可(除y=ax2(a≠0)).
12.-7≤y≤9 解:y=x2-4x-3=x2-4x+4-4-3=(x-2)2-7.
当x=-1时,y=(-1-2)2-7=2;
当x=2时,y=(2-2)2-7=2;
当x=6时,y=(6-2)2-7=9.∴-7≤y≤9.
点拨:已知m≤x≤n求二次函数的最大值和最小值时,应注意对称轴x=-是否在m、n之间.
14.-8;7 点拨:y=2(x+1)2+b(x+1)+c-2=2x2+(4+b)x+b+c,
15.c<-9 点拨:二次函数y=-x2+6x+c的函数值总为负值,需=62+4c<0,∴c<-9.
16.±8
∴交点为(-2,-2)和(1,4).
18. 点拨:∵y=a(x+2)(x-8),当y=0时,a(x+2)(x-8)=0,∴x1=-2,x2=8.
即A(-2,0),B(8,0)或A(8,0),B(-2,0).∵∠ACB=90°,OC⊥AB,∴OC2=OA·OB=2×8=16.∴OC=4,即点C的坐标为(0,±4).把(0,±4)代入y=a(x+2)(x-8)=0,得a=±.
20.y=-2x2-16x-65 点拨:y=2x2+16x-1=2(x2+8x+16-16)-1=2(x+4)2-33,即顶点为(-4,-33).绕顶点旋转180°后,关系式为y=-2(x+4)2-33=-2x2-16x-65.
三、21.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2形状相同,开口方向相反,∴a=-2.
又∵抛物线顶点为(3,5),∴y=-2(x-3)2+5=-2x2+12x-13.
(2)当x=0时,y=-13,即抛物线与y轴交点为(0,-13);当y=0时,有x1=3+,x2=3-,即抛物线与x轴交点坐标为(3+,0),(3-,0).
22.解:设y=x2-5x-6.抛物线开口向上,与x轴交于(6,0)(-1,0),∴当-1<x<6时,y<0.即不等式x2-5x-6<0的解集为-1<x<6.
23.解:∵∠ACB=90°,∴AB==20.∵AC⊥BC,OC⊥AB,∴AC2=AO·AB.
∴144=OA·20.∴OA=7.2.∴OB=12.8.∴OC2=OB·OA.∴OC=9.6,即A(-7.2,0),B(12.8,0),C(0,9.6).设y=a(x+7.2)(x-12.8).把(0,9.6)代入,得9.6=-92.16a.∴a=-.∴y=-(x+7.2)(x-12.8)=-(x2-5.6x-92.16)=-+9.6.
点拨:注意A点的横坐标为负数.
24.解:把(2,m)代入y=x-2,得m=2-2=0.把(n,3)代入y=x-2,得3=n-2.∴n=5,即抛物线(2,0),(5,3)点且对称轴为x=3.∴与x轴另一个交点为(4,0).设y=a(x-2)(x-4).把(5,3)代入,得3=a(5-2)(5-4),∴a=1.∴y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.
25.解:(1)矩形一边为xm,则另一边为(6-x)m,则S=x(6-x)=-x2+6x(0<x<6).
(2)设设计费为y元,则y=1000S=1000(-x2+6x)=-1000(x2-6x+9-9)=-1000(x-3)2+9000.
(3)设此黄金矩形的长为xm,宽为(6-x)m,则x2=(6-x)·6.
∴x2+6x-36=0,x=3-3.6-x=9-3(∵x>0,∴另一根舍去).
即当此矩形的长设计为(3-3)(9-3)=36(-2),可获得设计费为36(-2)×1000≈8498(元).
一、选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
1.二次函数与x轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2.把抛物线向上平移2个单位, 在向右平移3个单位,则所得的抛物线是( )
A. B. C. D.
3.下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值,判断方程(为常数)的一个解的范围是( )
6.17 6.18 6.19 6.20
A. B. C. D.
4.如图,抛物线的对称轴是直线,且经过点P(3,0),
则的值为( )
A.0 B.-1 C. 1 D. 2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
5.若是二次函数,则m= .
6.抛物线的顶点坐标是 .
7.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的关系式为 y=(x-2)2+3等 .
8.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t—5t2,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行___________m才能停直来.
9.已知抛物线与x轴交点的横坐标为 -1,则= .
10.已知抛物线,若点(,5)与点关于该抛物线的对称轴对称,则点的坐标是 .
三、解答题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
11.用配方法或公式法求二次函数的对称轴、最值.
12.已知抛物线的顶点在轴上,求这个函数的关系式及其顶点坐标.
13.已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2)且与轴交与(0,)
(1)求函数的关系式,并画出它的图象;
(2)当为何值时,随增大而增大.
14.已知一条抛物线过点和,且它的对称轴为直线,试求这条抛物线的关系式.
四、解答题(本大题共4小题,其中第15、16题每题8分,第17、18题每题10分,共36分)
15.某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,到柱子OP的距离为1米.
(1)求这条抛物线的关系式;
(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
16.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元,日销售量将减少20千克.
(1)现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?
(2)若该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多.
17.农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业.他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈,为了节约材料同时要使矩形的面积最大,他利用了自家房屋一面长25m的墙,设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积;
(2)请你判断他的设计方案是否合理?如果合理,直接答合理;如果不合理又该如何设计?并说明理由.
18.二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B,与y轴交于点C,
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)如果P(x,y)是抛物线AC之间的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的点P,使得PO=PA,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
第2个回答 2010-12-30
二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上,经过(0,-1)、(3,5)两点,且顶点到x轴的距离=3,求函数表达.
以下是解答过程:(a个x的平方表示为ax^2吧,习惯了,呵呵)
因为过(0,-1)所以函数解析式为y=ax^2+bx-1
把(3,5)代入函数,得3a+b=2
因为顶点到x轴的距离为3,从图上可以看出,图象的顶点必然在第3象限.因此既然顶点到x轴的距离=3,就说明顶点的纵坐标为-3
2次函数顶点的纵坐标公式是(4ac-b^2)/4a,因此有[4*a*(-1)-b^2]/4a=-3
这个方程,得到 b^2=8a,即b=±(2倍 根号下2a)
联立3a+b=2,解得一个2次方程:(9a-2)(a-2)=0,故a=2/9或a=2
所以b=±4/3或b=±4
所以得到的二次函数解析式为:
y=2/9x^2+4/3x-1
或y=2x^2+4x-1
或y=2/9x^2-4/3x-1
或y=2x^2-4x-1
当然,这4个式子并不是都成立.因为他们成立的前提是该图象过(3,5)
而只有y=2x^2-4x-1才过这个点,因此它就是该函数的解析式
第3个回答 2011-01-01
最近在做综合的说.................
第4个回答 2010-12-30
直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由。
解:如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A(6,0),B(0,6)
圆心C的坐标为(3,3)
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将(3,3)和(6,0)分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3,b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为(x,0)
|OB|=6,|OD|=|x|,|OA|=6
根据题意
36=|x|×6
x=-6或6(舍去)
点D的坐标为(-6,0)
|AD|=12,|AB|=6√2,|BD|=6√2
|AB|²+|BD|²=|AD|²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
|OA|=6,|OC|=3√2,|AC|=3√2
|OC|²+|AC|²=|OA|²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP,且C为AB中点
所以点O为BE中点,点E的坐标为 (0,-6)
直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6(1)
y=-1/3x²+2x(2)
(1)代入(2)
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
(x-6)(x+3)=0
x=-3或x=6(舍去,此时为点A坐标)
x=-3时,y=-9
所以点P的坐标为(-3,-9)
4、已知点P是函数y=1/2x(x>0)图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N(点MN不重合)
(1)当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积;
(2)证明:MN‖AB;(如图7)
(3)试问:△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)点P横的坐标是2,那么纵坐标是1
点P(2,1),A(2,0),B(0,1)
将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标(2,1/2)
将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为(1,1)
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
(2)
直线AB的斜率=(0-1)/(2-0)=-1/2
直线MN的斜率=(1/2-1)/(2-1)=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
(3)设点P的坐标为(2a,a)
则点M的坐标为(2a,1/2a)点N的坐标为(1/a,a)
直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
x²=1/2
x=√2/2或-√2/2(舍去)
y=√2
点N的坐标就是(√2/2,√2)
点P的纵坐标就是√2,横坐标就是2√2
此时点M的坐标就是(2√2,√2/4)
此时ON垂直MN,三角形OMN是直角三角形
点P的坐标是(2√2.,√2)
5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2。
(1)求此抛物线的表达式
(2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由。
解:(1)方程x²-10x+16=0
(x-2)(x-8)=0
x=2或x=8
那么OB=2,OC=8
点B的坐标为(2,0),点C(0,8)
设抛物线为y=a(x+2)²+b
代入
16a+b=0(1)
4a+b=8(2)
(1)-(2)
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3(x+2)²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
(2)点A的坐标为(-6,0)关于x=-2和点B对称
点E的坐标为(m-6,0)
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3(m-6)+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点(m/4,8-m)
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×(8-m)×(8-m)
=-1/2(m-8)²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
(3)S=-1/2m²+4m=-1/2(m²-8m)=-1/2(m-4)²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8,此时点E的坐标(-2,0)
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE,所以△BCE是等腰三角形
6、“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面( 轴)高度为5m的平台(点P在 轴上)。滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m。当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=3/2 m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点A滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离
解:(1)
根据题意
我们确定几个点的坐标
B(5,2),C(7,3/2)
设AB的解析式为y=k/x
将点B代入
2=k/5
k=10
AB的解析式为y=10/x
当y=5的时候,x=2
所以点A(2,5)
那么自变量下的取值范围为(2≤x≤5)
(2)设抛物线BCD的解析式为
y=a(x-5)²+2
将点C的坐标代入
那么
3/2=a×4+2
a=-1/8
y=-1/8(x-5)²+2=-1/8x²+5/4x-9/8
令y=0
-1/8x²+5/4x-9/8=0
x²-10x+9=0
(x-1)(x-9)=0
x=1或x=9
所以点D的坐标为(9,0)
自变量x的取值范围5≤x≤9
(3)水平距离=|OD-PA|=|9-2|=7
7、已知抛物线Y=—X平方+2X+M—1,与X轴交于A、B两点,且A(-1,0)
(1) 求抛物线的解析式,并写出顶点C的坐标
(2) 抛物线上是否存在点P(与C点不重合),使S三角形PAB=S三角形CAB,如果存在,则求出点P的坐标,不存在,请说明理由。
解:将(-1,0)代入
-1-2+M-1=0
M=4
y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
点C坐标(1,4)
(2)令y=0
-x²+2x+3=0
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=-1或3
那么AB=|-1-3|=4
如果存在点P
那么设P到x轴的距离为4,他的纵坐标为-4
那么将y=-4y=-4时
-x²+2x+3=-4
x²-2x-7=0
x=1±2√2
所以存在点P,坐标为(1±2√7,-4)
将长为80米的篱笆一边靠墙(墙长40米)围成如图的菜园,设垂直于墙的一边长为X米,菜园的面积为Y平方米,(1)写出Y与X的函数解析式及自变量X的取值范围;
(2)当X为何值时,面积最大,最大面积为多少?
长为80-2x
Y=(80-2x)x
=-2x²+80x=-2(x²-40x)=-2(x-20)²+800
0<80-2x≤40
20≤x<40
此为二次函数,二次项系数小于0
有最大值当x=20时,Y最大值=800平方米
9、已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M、N两点(点M在点N的右侧),并且M和N两点的横坐标恰是方程x2-2x-3=0的两个根,点K是抛物线与y轴的交点,∠MKN等于90º
求⑴M、N两点的坐标
⑵ 求a的值
⑶ 抛物线上存在点P,使△MPN的面积为2√3,求所有满足条件的P点坐标。
解:(1)x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=-1或3
所以点M(3,0),N(-1,0)
(2)根据题意,点K的坐标为(0,c)
因为∠MKN等于90º
所以Kkn×Kkm=-1
(c-0)/(0+1)×(c-0)/(0-3)=-1
c²=3
c=±√3
因为a<0
所以c=√3
y=ax²+bx+√3
令y=0
ax²+bx+√3=0
根据韦达定理
x1×x2=√3/a
√3/a=(-1)×3
a=-√3/3
x1+x2=-b/a
-b/(-√3/3)=2
b=2√3/3
y=-√3/3x²+2√3/3x+√3
(3)MN=|3+1|=4
设点P坐标为(x,y)
根据题意
1/2×|y|×4=2√3
y=±√3
y=√3时,解得x=0或2
y=-√3时,解得x=1±√7
所以点P的坐标为(0,√3),(2,√3),(1+√7,-√3),(1-√7,-√3)
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