上篇内容介绍了一些常见群，包括对称群、交错群和循环群，这些群对于理解魔方非常关键。从本文开始，我们将深入探讨群之间的关系与组合，为更复杂的群结构铺垫理论基础。部分证明细节将根据与魔方理解的相关性适当省略，有兴趣的读者可自行查阅相关资料。本文将侧重于理论铺垫，魔方相关讲解较少，敬请留意。
问题解析：
3-1. 群大小为n的阶乘，这是因为群阶置换中，每个位置有n种选择，随后每个选择都会减少一个选项，因此组合为n的阶乘。
3-2. 三阶魔方中，分别存在只移动特定角块、只移动特定棱块的群，考虑单个角块或棱块的转动。
3-3. 三阶魔方的状态通过单步生成，自然形成群结构。
第四章内容，将聚焦于群与群之间的关系，探讨群同态、群同构、正规子群及直积等概念。群同态描述群之间的映射关系，群同构则表示群结构的全等。正规子群是包含逆元素的子群，直积是两个群的组合方式。
定义与评价：群同态和群同构提供了描述群间关系的工具，使复杂群可被简化或理解为熟悉的群。自同构映射集合构成群，正规子群的定义与性质揭示了群内部的结构。
推论与证明：推论关于群的性质和结构，如同态映射的核是正规子群，自同构映射的集合构成群等，通过严谨的数学证明得到。
魔方定理5：魔方群中，考虑方向改变的状态，通过特定集合表示，此集合构成魔方群的正规子群。
定义4.8：直积群定义为两个群的组合，形成新的群结构。
本文重点在于群间关系与组合的理论基础，为后续深入魔方群结构分析做铺垫。
文后思考：
4-1. 证明只打乱方向的魔方群是子群。
4-2. 探讨群的性质与相互关系。
4-3（思考题）：考虑角块与全部角块情况下的群结构。
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