蝴蝶原理求面积问题

Question

如题所述

Answer 1

蝴蝶原理求面积问题如下：

四边形ABCD是任意一个四边形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则有：S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4证明：S1:S2=DO:OB，S4:S3=DO:OB（同底共边模型）

S1:S2=S4:S3结论2：DO:OB=(S1+S4):(S2+S3)或AO:OC=(S1+S2):(S3+S4)证明：根据结论1和比例的性质可以直接得到结论2。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系。

另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。因为E是CD中点，所以不妨设DE=1，AB=2。因为A、B、E、D四点构成一个梯形蝴蝶模型，由蝴蝶定理可得各部分面积：甲=4，乙=2，丙=1，丁=2。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

利用曲线系可以证明任意圆锥曲线（包括退化情形）的蝴蝶定理。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。证明：以PQ所在直线为x轴，M为坐标原点建立直角坐标系。