一道大学定积分计算题，辛苦了，求详细步骤

Question

如题所述

Answer 1

这是变限的不定积分极限的应用，用到两类知识，即：

变限不定积分求导数法则。

极限洛必达公式。

具体步骤如下：

lim（x→0）[∫(0,x)sint^2dt]^2/∫(0,x)t^2sint^3dt

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]*sinx^2/x^2sinx^3

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]/sinx^3

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]/x^3(无穷小等价代换）

=lim（x→0）2sinx^2/3x^2（再次洛必达法则）

= 2/3.

Answer 2

lim(x->0) [∫(0->x) sin(t^2) dt ]^2 / ∫(0->x) t^2.sin(t^3) dt
(0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sin(x^2).∫(0->x) sin(t^2) dt / [ x^2.sin(x^3)]
=lim(x->0) 2x^2.∫(0->x) sin(t^2) dt / [ x^5]
=2lim(x->0) ∫(0->x) sin(t^2) dt / ( x^3) (0/0 分子分母分别求导)
=2lim(x->0) sin(x^2) / ( 3x^2)
=2lim(x->0) (x^2) / ( 3x^2)
=2/3

Answer 3

如图所示

追问

请问原题到第一步是怎么转化的，可以告知一下吗？麻烦您了Ծ‸Ծ

不用了，知道了😊

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