数学期望和方差有什么区别？

Question

如题所述

Answer 1

数学期望（Expectation）和方差（Variance）是两个重要的概念，在概率论和统计学中经常被用到。

数学期望是对随机变量的平均值的度量，表示随机变量在大量实验中的平均表现。对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：

E(X) = Σ [ x * P(X=x) ],

其中x代表X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X等于x的概率。

对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：

E(X) = ∫ [ x * f(x) ] dx，

其中f(x)为X的概率密度函数。

方差是对随机变量离散程度的度量，表示随机变量与其数学期望之间的偏差平方的平均值。对于随机变量X，其方差Var(X)的计算公式为：

Var(X) = E[ (X - E(X))^2 ],

其中E(X)为X的数学期望。

数学期望和方差之间的关系可以通过下面的公式表示：

Var(X) = E[ (X - E(X))^2 ] = E(X^2) - [E(X)]^2。

换句话说，方差等于随机变量X的平方的数学期望减去数学期望的平方。这个公式表明方差是一个衡量随机变量偏离其平均值的度量，当方差较大时，随机变量的取值更加分散；当方差较小时，随机变量的取值更加集中在平均值附近。