安徽省2001年普通高中理科实验班招生考试
数 学 试 题
（本卷共两试，满分150分 答题时间120分）
题号 第一试 第二试 总分
一 二 三 四 五 六 七
13 14
得分
参考公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3， (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3,
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2), a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2).`
第一试
一、选择题（本题共4小题，每小题5分，满分20分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
⒈一元二次方程x2 - |x| -6 = 0的解的个数是…………………………………[ ]
A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个
⒉在△ABC中，∠C为直角，如果sinA= ，那么tgB=……………………[ ]
A. B. C. D.
⒊某林场原有木材存量为am3,木材的年增长率为p,而每年砍伐木材的总量为bm3，则两年后该林场的木材存量为………………………………………………[ ]
A. [a(1+p)2-(2+p)b]m3 B. [a(1+p)2+bp]m3
C. [a(1+p)2+(2+p)b]m3 D. [ap(1+p)-(1+p)b]m3
⒋如图，在锐角三角形ABC中，点D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为S1，△ABC的面积为S，则S1：S=…………[ ]
A. 3：5 B.2：3 C. 1：2 D.1：3
二、填空题（本题共8小题，每小题5分，满分40分）
⒌计算： - = 。
6、已知当x=2时，代数式x2+ax+3+ 的值是16，那么当x=-2时，x2+ax+3+ 的值是 。
⒎如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且∠BAD=30°，点E在AC 上，AD=AE，则∠EDC为 度。
⒏已知关于x的不等式（2a-b）x>b的解是x< ，则 = 。
⒐如图，AB是自动喷灌设备的水管，点A在地面，点B高出地面1.5米。在B处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平线成45°角，水流的最高点C与喷头B高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D到点A的距离是 米。
⒑已知：如图，⊙O的半径为R，OP=L, AB=a., CD=b, 则a2+b2= 。
⒒已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为 。
⒓已知：a、b、c是整数，则满足不等式a2+b2+c2+3< ab+3b+2c的所有a、b、c 的值是 。
三、解答题（本题共两小题，每小题15分，满分30分）
13、已知x、y、z是整数，且x < y < z，求满足 的x、y、z的值。
14、已知：如图，正三角形ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC 的中点，M为RC上任意一点，△PMS为正三角形。求证：RM=QS。
第二试
四、（本题满分15分）
设max{a , b}表示a、b中较大的数，如max{2 , 3}=3.
⑴求证：max{a , b}=
⑵如果函数y1=2x+1,y2=x2-2x+4，试画出函数max{y1 , y2}的图像。
五、（本题满分15分）
已知：如图，AD=BD=CD=m，AB=n，BC=p，BC//AD，m、n为有理数。
求证：p也有理数。
六、（本题满分15分）
已知：0< a < b < c，实数x、y满足2x+2y=a+b+c，2xy= ac,且
x < y. 求证：0< x < a , b < y < c.
七、（本题满分15分）
已知：如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于点M，点E、F分别为AB、CD的中点。
求证：∠OEM = ∠OFM。
数学试题参考答案及评分标准
第一试
一、选择题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
1、B 2、D 3、A 4、C
二、填空题（本题共8小题，每小题5分，满分40分）
5、 6、-2 7、15 8、-3
9、2+ 10、8R2 - 4l2
11、 12、a = 1 , b = 2, c = 1
三、（本题共两小题，每小题15分，满分30分）
13、解：
由⑴得，z = -(x + y)，将它代入方程⑵，得 ……3分
x3 + y3 – (x + y)3 = -18,
-3xy(x + y) = -18. ……7分
将 x + y = -z 代入上式，得
xyz = -6. ……11分
又∵ x + y + z =0, x、y、z是整数，且x < y < z ,
∴x = -3, y = 1, z = 2. ……15分
14、证明：连PR、PQ，则△ARQ与△BPR是两个全等的正三角形。
∴PQ = PR. ……3分
∠ARQ =∠BPR = 60°，∴∠RPQ =60°， ……6分
又∠QRS =∠MPS -∠MPQ =60°-∠MPQ，
∠RPM =∠RPQ -∠MPQ =60°-∠MPQ,
∴∠QPS =∠RPM ……9分
又PS = PM，∴△PRM≌△PQS. ……13分
∴ RM = QS. ……15分
第二试
四、（本题满分15分）
解：⑴证明：当a≥b时，max{a, b}=a,
= =a,
∴max{a , b}= ……3分
当a < b时，max{a , b}=b，
= =b,
∴ max {a , b}= .
故有max {a , b}= ……6分
⑵y2 = (x - 1)2+3, y2的图象是顶点为（1，3），对称轴
为x = 1,开口向上的抛物线。
解方程组
得 ……9分
即函数y1与y2的图象的交点为（1，3），（3，7）
函数max{ y1，y2}的图象如右图所示。 ……15分
五、（本题满分15分）证明：
如图，分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，则有
BE =DF，BF=DE=FC= ……3分
在Rt△ABE中，BE2 =n2 –(m - )2. ……6分
在Rt△BED中，BE2 =m2 – ……9分
∴n2 –(m - )2 = m2 – . ……12分
解得 p =
因m、n都是有理数，所以p也是有理数。 ……15分
六、（本题满分15分）
解：由题意知，x，y是方程
t2- t+ =0的两实根。① ……3分
设函数S =t2- （a+b+c）t+ ac ……6分
当t=0时,S= ac<0,
当t=a时, S= a(a-b)<0
当t=b时,S=b2– (a+b+c)b+ ac
= (b-a)(b-c)<0, ……12分
当t=c时，S = c(c - b) < 0,
可知函数S =t2- （a+b+c）t+ ac的图象与 t轴的两个交点分别在0，a和b，c之间
如右图。
故方程①的两根分别在0，a之间的和b，c之间，
即 0<x<a, b<y<c. ……15分
七、（本题满分15分）
证明：∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴OE⊥AB, OF⊥CD, 且BE = AB, CF = DC ……3分
又∵∠ABD=∠DCA， ∠BAC =∠CDB，
∴△ABM∽△DCM。
∴ = . ……6分
∴ = = = ……9分
又∵∠EBM = ∠FCM，
∴△EBM∽△FCM。
∴∠MEB =∠MFC。 ……12分
而∠OEB =∠OFC =90°
∴∠OEM=∠MEB-∠OEB=∠MFC-∠OFC=∠OEM。 ……15分