困扰数学家数百年的怪题

Question

人与龟赛跑，人的速度为10米/秒，龟的速度为1米/秒，龟先行100米人开始追，当人跑到100米处时，龟又前进了10米，当人跑到110米处时，龟又前进1米，不管龟的速度有多慢，只要人到达它原来的位置，总需要一个过程，只要有过程，龟总在前进，与人之间总会产生距离，如此说来，人永远追不上龟，我们当然知道这是错误的说法。请问这个推理，错在哪里？
无限项正常数之和是个有限数，如：1/2+1/4+1/8+...+1/2^N+...=1.
上述观点被证明了吗？无限项正常数之和只能是约等于有限数，哪怕它精确到小数点后一百亿位，但还是约等于，永远无法划上等号。
当运动员的距离和乌龟的距离在发展过程中达到极限时，就会发生质变
何谓极限，怎样定义？具体数据是多少？怎样的质变？变成什么质？（本人初中文化，望不吝赐教。万分感谢！）
时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。
这个观点我个人认同，但想了解，时间的最小单位是多少？所有运动的规律是否一致，间歇是否相等，间歇是多少？

Answer 1

时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需 0.6秒，实际上，他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了。

因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

Answer 2

1.问题:
兔子永远追不上乌龟

龟兔赛跑，假定兔子的速度是每分钟100米，乌龟的速度为每分钟10米，即乌龟的速度是兔子的十分之一；让乌龟先跑100米，兔子再开始跑。问题是：兔子到底能不能超过乌龟？
按常理兔子肯定是可以超过乌龟的，比如说兔子跑了2分钟后，离起点200米，乌龟离起点只有120米，兔子已经超过乌龟了。其实不然，让我来给大家分析一下：
当兔子起跑时，乌龟领先兔子100米；
当兔子跑完这100米，用去1分钟时间，乌龟又领先兔子10米；
当兔子跑完这10米，用去0.1分钟时间，乌龟又领先兔子1米；
当兔子跑完这1米，用去0.01分钟时间，乌龟又领先兔子0.1米；
当兔子跑完这0.1米，用去0.001分钟时间，乌龟又领先兔子0.01米；
…… ……
如此循环往复，兔子岂能追上乌龟？
时间和长度是无限可分的，我的结论是兔子永远不可能追上乌龟，更不可能超过了。

2.解答:
按常识，10/9分种后兔子将追上乌龟，也就是兔子与乌龟处于同一位置了。
那么题目里的分析是怎么回事？
10/9分钟前，兔子确实一直落后于乌龟，题目的分析不过是这样的：
过1分钟说，兔子还在乌龟后面；
再过0.1分钟说，兔子还在乌龟后面；
再过0.01分钟说，兔子还在乌龟后面；
....
再过0.000000001分钟说，兔子还在乌龟后面；
如此可以无限下去.因此似乎兔子永远追不上乌龟。
但是，实际上，上面的所有追问全发生在10/9分种之内的，只不过是，把10/9分种的时间无限细分了，每过一个小的时间间隔，就确定一次兔子还在乌龟后面。10/9分种的时间可以分成无限段，也就是你可以无限次的确定“兔子还在乌龟后面”，但时间的总的长度是有限的。一次一次的确定“兔子还在乌龟后面”，相隔时间愈来愈短，以至一会儿的时间，无限次的追问就过去了。
错觉在于，似乎问一次需要一段时间，问无限次就可以把时间延长到无限（因此似乎兔子永远追不上乌龟）。但实际上，这里的无限个时间间隔之和是个常数，这就是数学里面的收敛级数，无限项正常数之和是个有限数，如：1/2+1/4+1/8+...+1/2^N+...=1.

3.结论:
你可以将10/9分钟分成无限段,每过一小段发一次问,但10/9分钟的时间仍是这么长,不会因为你将时间无限细分了,时间就变长了.错觉就在这里
同时也可明白,“芝诺悖论”并非悖论,而是错觉,换言之,是某些人思考失误.物理中的时间不能无限细分,也许有理,但不能用在这里.与哲学观点更无关系.
乌龟比运动员远一百米，在这个意义上它是“正值是一百米”。在运动的发展过程中，即赛跑的过程中，运动员跑完了一百米，乌龟爬完了0·1米，当运动员跑完了0·1米，乌龟爬完了0·001米，当运动员跑完了0·0001米······，当运动员的距离和乌龟的距离在发展过程中达到极限时，就会发生质变，乌龟的正值变为负质，这就是物极必反效应。