是吗? 2007年北京市朝阳区高三下学期第一次统一考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
1．设集合U = R，集合M = {x| x > 0}， N = {x | x2 ≥x}，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，sin 2A = sin 2B是A = B的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a‖b，b‖α，则a‖α；
②a、 ，a‖β，b‖β，则α‖β；
③a与α成30°的角，a⊥b，则b与α成60°的角；
④a⊥α，b‖α，则a⊥b。
其中正确命题的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．已知等比数列{an}的前n项为Sn，S3 = 3，S6 = 27，则此等比数列的公比q等于（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
5．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210种 B．186种 C．180种 D．90种
6．已知函数 在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（ ）
A．[－2，2] B．[－2，0] C．[0，2] D． [-2，0）
7．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．双曲线的一支
8．已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m－n个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m + n个。
现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：
第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；
第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；
第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；
第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器中的数据个数是 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上。
9．设复数 ，则 等于 。
10．若（1－ax）6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是 。
11．圆x2 + y2 + 4x－2y + 4 = 0上的点到直线x－y－1 = 0的最大距离与最小距离的差为 。
12．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是 ，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是 ，球的体积是 。
13．已知向量a =（2，3）， ，且a‖b，则|a| = ，b的坐标是 。
14．已知函数 且不等式 的解集是 ，则实数a的值是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知向量 ，函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当 时，求f（x）的单调减区间。
16．（本小题满分13分）
甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出。
（Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率；
（Ⅱ）求乙队获胜的概率；
（Ⅲ）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由。
17．（本小题满分13分）
如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影。
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角A—BE—F的大小。
18．（本小题满分13分）
已知函数 处有极值， 处的切线l不过第四象限且倾斜角为 ，坐标原点到切线l的距离为 。
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函数 上的最大值和最小值。
19．（本小题满分14分）
已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为 。
（Ⅰ）若点P的坐标为 ，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若 ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
20．（本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项为和Sn，点 在直线 上.数列{bn}满足 ，前9项和为153。
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数k的值。
（Ⅲ）设 是否存在 ，使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
2007年北京市朝阳区高三下学期第一次统一考试
数学（理科）试卷
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．D
4．A
5．C
6．B
7．A
8．D
二、填空题
9．i
10．±2
11．2
12．16π，
13． ，（－4，－6）或（4，6）
14．1
三、解答题
15．解：（Ⅰ）因为
……2分
……4分
……6分
所以 的最小正周期是 ……7分
（Ⅱ）依条件得 ……9分
解得 ……11分
又
即当 时，f（x）的单调减区间是 ……13分
16．解：（Ⅰ）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为
……4分
（Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为 ；
乙队以2：1获胜的概率为
∴乙队获胜的概率为
……8分
（Ⅲ）若三场两胜，则甲获胜的概率
或 ；
若五场三胜，则甲获胜的概率
……12分
，
∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大。 ……13分
17．方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF‖AC。
所以∠BCA是EF与BC所成角。 ……2分
∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA = 60°。
即EF与BC所成角的大小是60°。 ……3分
（Ⅱ）解法1：如图，连结AO，AF，
因为F是CD的中点，
且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD。
因为BF∩AF = F，
所以CD⊥面AFB。
因为CD 在ACD，
所以面AFB⊥面ACD。
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD。
即OG的长为点O到面ACD的距离。
因为正四面体ABCD的棱长为1，
在△ABF中，容易求出AF = BF= ，OF= ，AO = ，
因为△AOF∽△OGF，
故由相似比易求出OG =
所以点O到平面ACD的距离是 ……8分
解法2：如图，连结AO，CO，DO，
所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥
O—ACD底面ACD上的高h。
与解法1同理容易求出OF= ，AO = ，
所以VA—COD =
因为VO—ACD = VA—COD，
所以 = VO—ACD =
解得 。
（Ⅲ）设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结
CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD。
设HD的中点为K，则FK‖CH。
所以FK⊥面ABD。
在面ABD内，过点K作KN‖AD，
KN交BE于M，交AB于N，
因为BE⊥AD，
所以NM⊥BE。
连结FM，
所以FM⊥BE。
所以∠NMF是所求二面角的平面角。
因为FK = CH = ，
MK = ED = AD = ，
所以
所以
所以所求二面角的大小为 ……13分
（或者由正四面体的对称性，可转求二面角C—BF—E的大小）
方法二：如图，以点A在面BCD的射影O为坐标原点，
有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点
O与DC平行的有向直线。
因为正四面体ABCD的棱长为1，
所以可以求出各点的坐标依次为：
O（0，0，0），A（0，0， ），B（0， ，0）
C（ ），D（ ），
E（ ），F（ ）
（Ⅰ）因为
又
，
所以
所以EF与BC所成角的大小是60°。……3分
（Ⅱ）因为 ，
设平面ACD的一个法向量为 ，
由
因为 ，
所以点O到平面ACD的距离等于 ……8分
（Ⅲ）因为 ，
设平面ABD的一个法向量为 ，
由 ，
可得一个法向量
同理可以求出平面BEF的一个法向量为
因为
所以
所以二面角A—BE—F的大小为 ……13分
18．解：（Ⅰ）由
有极值， ①
处的切线l的倾斜角为 ②
由①②可解得a =－4，b = 5. …………………………………………………………4分
设切线l的方程为y = x + m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为 ，可得m =±1，
又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y = x + 1 ……6分
∴切点坐标为（2，3），
故a=－4，b = 5，c =1。 ……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴函数 在区间[－1，1]上递增，在 上递减， ……9分
又 ， ……12分
∴ 在区间 上的最大值为3，最小值为－9。 ……13分
19．解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为 ，
由 ……1分
……2分
由点 在双曲线上， ， ……5分
∴离心率 ……6分
（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为 ，
则 ……7分
∵△OFP的面积为 ……8分
解得 ……9分
， ……10分
当且仅当 时等号成立. ……11分
此时 （舍） ……13分
则所求双曲线的方程为 ……14分
20．解：（Ⅰ）由题意，得
故当 时，
注意到n = 1时， ，而当n = 1时，n + 5 = 6，
所以， ……3分
又 ，
所以{bn}为等差数列 ……5分
于是
而 ……7分
因此， ……8分
（Ⅱ）
……10分
所以，
……12分
由于 ，
因此Tn单调递增，故 ……13分
令 ……14分
（Ⅲ）
①当m为奇数时，m + 15为偶数。
此时 ，
所以3m+47=5m+25，m=11 ……12分
②当m为偶数时，m + 15为奇数。
此时 ，
所以 （舍去）。
综上，存在唯一正整数m =11，使得f（m+15）=5f（m）成立。 ……14分
注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分。
（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分。
参考资料：绿色空间