a,b,c都是质数,且满足a+b+c+abc=99,则|1/a-1/b丨+|1/b-1/c|+|1/c-1/a|=？（初一奥数题，用初一办法)

Question

如题所述

Answer 1

a+b+c(ab+1)=99
如果a+b为奇数，则a，b中必有一个为偶数2另一个为奇数 (因为 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数； 要充分利用这个特性)
则ab+1为奇数，c必为偶数（否则算式的值为偶数，却等于99，矛盾）, 则c=2
则a，b，c中必有两个为2另一个数为19；
此时题中算式=1-2/19=17/19

如果a+b为偶数，则有两种情况
a，b均为偶数2，则c为奇数 答案同上
a，b均为奇数，则ab+1为偶数，a+b+c(ab+1)为偶数，矛盾！

所以abc的取值只能是 2，2，19

题中算式=1-2/19=17/19追问

不太明白，为什么要1-2/19！！！|1/a-1/b丨+|1/b-1/c|+|1/c-1/a|=？我求的是这个诶！

追答

|1/a-1/b丨 和|1/b-1/c| 和|1/c-1/a|中必有一个是|1/2-1/2|=0，另外两个是1/2-1/19

所以答案是(1/2-1/19)*2=1-2/19=17/19

Answer 2

由题可知：ABC应该是三者相成即A×B×C
最小两个质数是 2 3 所以根据A×B×C<99
（一）ABC 各不相同
可知：ABC 应该是2 3 5 7 11 13 中的三个。
根据A×B×C<99 可得 ABC 中必有2
经过讨论，这种情况不可能满足条件。
（二）ABC 有两个数相同
如果是2 2 则 另一个数为19
如果是3 3 找不到满足题意的
同样：5 5 、7 7也不能满足题意
经过讨论，这种情况有一种可满足条件。
(三) ABC 都相同
经过讨论，这种情况也不可能满足条件。
所以：A,B,C是2，2，19（ABC如何分配，不影响要求的值）
|1/A-1/B|+|1/B-1/C|+|1/C-1/A|=|1/2-1/2|+|1/2-1/9|+|1/9-1/2|=0+7/18+7/18=7/9追问

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Answer 3

由题可知：ABC应该是三者相成即A×B×C
最小两个质数是 2 3 所以根据A×B×C<99
（一）ABC 各不相同
可知：ABC 应该是2 3 5 7 11 13 中的三个。
根据A×B×C<99 可得 ABC 中必有2
经过讨论，这种情况不可能满足条件。
（二）ABC 有两个数相同
如果是2 2 则 另一个数为19
如果是3 3 找不到满足题意的
同样：5 5 、7 7也不能满足题意
经过讨论，这种情况有一种可满足条件。
(三) ABC 都相同
经过讨论，这种情况也不可能满足条件。
所以：A,B,C是2，2，19（ABC如何分配，不影响要求的值）
|1/A-1/B|+|1/B-1/C|+|1/C-1/A|=|1/2-1/2|+|1/2-1/9|+|1/9-1/2|=0+7/18+7/18=7/9追问

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Answer 4

[思路分析]
分析如下
[解题过程]
a+b+c+abc这个式子，在a b c都是整数时有如下特性：
a b c三个数全为奇数时值为偶数；
只有两个数为奇数时值为偶数；
只有一个数为奇数时值为奇数；
全为偶数时值为偶数；
a+b+c+abc=99，因此只有一个数为奇数，而偶数素数仅有2一个因此不妨设a=b=2,则c=19
|1/a-1/b丨+|1/b-1/c|+|1/c-1/a|=7/9追问

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Answer 5

朋友，此题无解。用数学软件做了一个多小时都没有答案