定积分的求面积问题，我想知道算理，划成很多个小方块后，怎样转成了导数的相减求得答案呢？

Question

划成很多个小方块后，怎样转成了导数的相减求得答案呢？

Answer 1

不对吧，是不定积分后再相减吧，回答的最后告诉你什么是不定积分
牛顿-莱布尼兹公式：若F'(x)=f(x),
则
∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

举例，求∫[0,1]x^2dx
解法一：公式法
因为(1/3*x^3)'=x^2,
所以∫[0,1]x^2dx=1/3*1^3-1/3*0^3=1/3

拓展：对于任意常数C，有(1/3*x^3+C)'=x^2
∫[0,1]x^2dx=(1/3*1^3+C)-(1/3*0^3+C)=1/3

解法二：“小方块法”
将[0,1]n等分，则第k个区间为[(k-1)/n,k/n]
这个你应该明白的，
∫[0,1]x^2dx
=(n→+∞)lim[1/n*((1/n)^2+(2/n)^2+…+(n/n)^2)]
=(n→+∞)lim(1/n^3*(1^2+2^2+…+n^2))
这里引入公式：
1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以
∫[0,1]x^2dx
=(n→+∞)lim(1/n^3*n(n+1)(2n+1)/6)
=(n→+∞)lim((2n^2+3n+1)/(6n^2))
=2/6
=1/3

在F’(x)=f(x)中，显然已知f(x)求F(x)的运算是导数运算的逆运算
此时我们说，f(x)是F(x)的导函数，F(x)是f(x)的原函数
求原函数的运算，也就是导数运算的逆运算，叫做不定积分
特别的，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C都是f(x)的原函数
F(x)+C的全体称为f(x)的不定积分，记为∫f(x)dx
当然，∫f(x)dx=F(x)+C

参考资料：http://baike.baidu.com/view/1290948.htm

Answer 2

例如：y=2x,定积分上下区间2xdx,可以看成2X乘以dx,2x就是y,dx就是X的很小的增量，那么微小的看这就是一个矩形，很多微小的矩形累计，就是一个不规则图形的面积，因为y一直在变化，那么这个矩形的面积也在变化。图形的面积就是这个图形与X轴（也可以是y轴，如果是1/2ydy就是与y轴）围成的曲线，那么上面一根曲线（函数）与x轴围成的曲线，（以dx来说，左右两边是积分下上限，这根线与X轴垂直的线），减去一个下面一个曲线的与x轴围成的面积，对不?
那么根据定积分的性质，面积相减，如从1到2对3X和2X围成的面积相减，根据定积分的性质，同区间定积分相减，就可以等于同区间的相减的定积分。你仔细揣摩一下。