高一数学向量与三角函数综合题（求过程，感激不尽）

Question

已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3π/4,且向量m·向量n=-1
（1）设求向量n
（2）向量a=(1,0),向量b=[cos2x,2cos^2(π/3-x)]，若向量n·向量a=0,试求|向量n+向量b|的取值范围

Answer 1

解：（1）设向量n=(x, y) (以下过程，提及m, n等均省略“向量”二字)
∵m,n夹角为3π/4, ∴cos<m, n> = m*n/(|m|*|n|) = (x+y)/[√2 * √(x^2+y^2)] = - √2/2
将此式化解则可得：xy = 0 ① (x, y必有其一为0)
又已知mn = -1，即x + y = -1 ②
由①、②两式联立求解得：n = (0,-1)或n = (-1,0)
（2）若 a = (1, 0)，na = 0，则由已求得值，n = (0,-1)或n = (-1,0)可得，此时n = (0,-1)
b = [cos2x, 2cos^2(π/3-x)]= [cos2x, 1+cos2(π/3-x)] 余弦二倍角，降幂
所以，n+b = 0, -1) + [cos2x, 1+cos2(π/3-x)]= [cos2x, cos2(π/3-x)] 向量坐标相加
所以，|n+b| =√{(cos2x)^2 + [cos2(π/3-x)]^2} 向量求模公式
=√{(1+cos4x)/2 + [1+cos4(π/3-x)]/2} 余弦二倍角，降幂
=√[1+ 1/2 cos4x + 1/2 cos4(π/3-x)] 合并同类项
=√[1+ 1/2 (1/2cos4x –√3/2 sin4x)] 余弦两角和展开，并合并同类项
=√[1 + 1/2 cos(4x+π/3)] 三角函数辅助角公式
因为-1/2≤1/2 cos(4x+π/3) ≤1/2， 三角函数值域
所以1/2≤1 + 1/2 cos(4x+π/3) 1≤3/2 不等式的基本性质
则，√2/2≤|n+b|≤√6/2

望能帮助读者释疑！

Answer 2

m与x轴夹角为45度，又mn的夹角为135，所以n有两种情况，可设n(x,1)或(1,y),又mn=-1,所以
n(-2,1)或(1,-2),

Answer 3

(1)设向量n=(x,y), 则由向量数量积的公式有:
cos<m,n>=m.n/|m||n=（x+y）/根号2与根号(x*2+y*2)=cos3π/4=负根号2/2
又mn=x+y=-1,由两个关于 x,y的方程解出x,y的值是x=-1,y=0
所以向量n=（-1，0）
（2）|

Answer 4

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