基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值

Question

求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
a,b均为整数,且有ab-a-b=1 求a+b最小值
我的解法
:依题意:ab=a+b+1
a+b≥2√ab=2√(a+b+1)
当且仅当a=b是等号成立
故令t=a+b,则有
t≥2√(t+1)
得t^2≥4t+4
解得t≤2-2√2 或t≥2+2√2
∵t=a+b＞0
∴t≥2+2√2
当且仅当a=b=1+√2是等号成立

答案与参考答案一致,我去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值不等式?拓展一下,什么时候可以在两端都不是定值的时候用均值不等式?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了

Answer 1

呵呵，这是个好问题！不过楼上的一些解答说得似乎太复杂了，很多又是答非所问……

其实从本质上说，对于一个不等式问题，可以随便用任何一个成立的不等式，连着用多次也没关系，只要保证不等号的方向总是对的就行。但是最值问题比不等式问题要求更强，它要求等号能够成立。所以用不等式解决最值问题时就两步(以求X的最小值为例)：1. 用不等式放缩，得到X≥a（注意，a是个已知的值，不能还是个函数，这就是“一方为定值“的含义，但个人认为这么说容易引起误解）。2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干不等式联合得到的，比如X≥Y≥Z≥a，这时为说明X=a可以成立，只要说明上面的每个不等式都能成立"="就行）。只要这两点都做到了，那方法一定是对的。下面用这个标准来看看你举的例子。

先看你问题中的这个例子。首先放缩得到t≥2+根号2，这肯定没问题。其次，你这里面用了两步放缩，第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时，两个不等式都成立等号。所以这个做法没有任何问题。

再看你在二楼追问的那个问题，错在我上面说的1.不满足。这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一个固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错，但右边不是定值，通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）。后面的推理也是没有道理的，就好比通过甲>乙，丙=丁，然后推出甲>丁一样荒谬。关键在于4√x不是定值，x不同时，4√x可以是上面的乙，也可以是上面的丁，用它作媒介推不出来甲和丙的大小。

总之，”一方为定值“这个说法有一定道理，不过容易引起误解。实际上放缩的过程可能是由多个不等式联合得到的，并不需要每一个不等式都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步，两边都不是定值），但一定要求最后得到一个定值作为下界。我建议楼主用我上面说的1,2来理解，也包括那里括号中的内容。

P.S，"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的。边边角情况下，如果那个角是钝角则的确可以判定全等。我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些。不过我觉得他说的有些绝对，"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理，关键是要理解这句话的实质，而不仅仅是字面意思。很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的。如果楼主理解了我上面说的两条，这种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)追问

我理解您的意思了,先感谢您的细致清晰的分析解释
我还有一个小问题,从t≥2√(t+1)类推过来,如果错解那道题从x^2+4/x≥4√x开始,两边平方,在把未知数移到同一边,用某种计算方法还是可以求得x的最值的是吧?有了最值就有了"下界"了,这样可以么?虽然本题不必这么做.只是就地取例,我想从您的回答中确认一些信息,确认了这些就可以推广到所有情况了,所有问题也就明朗了,见谅,虽然接触不等式一年多了,但还是第一次这么较真儿

追答

明白你的意思:-)你的学习精神真的很赞啊~思路也挺清楚~~确实应该这样推敲并举一反三！这个问题搞明白之后，相信你对“什么是数学中正确的逻辑推理”这个问题的认识就会深入一层。

那道题照你说得这么做恐怕是不行的。这样固然是得到了一个下界，满足了我说的1 ，但是不满足2. 因为要想达到这个下界，中间要有两个不等式都成立等号，在这个问题里做不到的。第一次x^2+4/x≥4√x这个式子要取"=", x就确定了，而你说的“用某种计算方法”还是会出一个不等式（类似原来那道题的t≥2+2√2这种式子），无法保证上面确定的x在这个不等式中还能够取到等号。

注意，你原来贴的那题两个等号却可以同时成立，因此是对的。为什么有这种差别呢？可以这样直观地理解：原来那道题有a,b两个量可变，有余地让两个等号同时成立，而你追问的那道题x只能取一个值，分身无术啊......除非凑巧（遗憾的是，从结果上看这次没中彩票）。

上面的想法虽然不够严谨，但对理解问题是很有帮助的！它能帮助你判断连续放缩什么时候是安全的，什么时候危险的。遇到新问题时，能用安全的放缩就要尽量避免危险的放缩。当然有时你看清楚了也不怕所谓的“危险”。简单的例子就是你举的求y=x^2+4/x最小值(x>0)这道题。最简单的方法是用三元均值不等式：y=x^2+2/x+2/x≥3[(x^2)*2/x*2/x]^(1/3)=3*4^(1/3). 等号成立条件x^2=2/x=2/x, 表面上看似乎有点危险：成立条件里有两个等号，但只有一个变元x. 不过显然后面那个等号是恒成立的，所以没问题，能取到下界。为什么要把4/x拆成两项，还非要拆成相等两项2/x+2/x呢？拆成两项正是为了我说的1，保证用均值不等式后能得到一个下界；拆成相等两项是为了我说的2，保证能取到x满足等号成立的条件。

最后，既然你对这个问题想得这么深入了，不妨提高一点。想想下面一个问题：不用导数，用三元均值不等式求x(1-x)(1+x)在[0,1]的最大值。提示一下，可以适当地配系数哦~至于怎么适当，不妨考虑待定系数法~~

P.S, 楼下的LePAc说的我看了，我觉得也对。他的意思和我说的差不多，只是换了个角度（不过要是你本来没理解透彻，也许看着反倒比较晕）。我还是那句话，只要你搞明白我说的那1,2两条就足以啦，其他的都是浮云:)

Answer 2

首先公式a+b≥2√ab(a>0,b>0)是恒成立的，一楼已经 证明过了，所以不要求有一边为定值。

其次，在计算最值时为什么要要求一边为常数呢。如果不是常数a+b≥2√ab确定出的最小值则是≥min2√ab, a=b只能使不等式的等号成立，而不是取2√ab的最小值，此时，给不出表达式的最值的。
形象的解释：即在曲线a+b下面画了一条曲线2√ab，两曲线的重合点未必是曲线a+b的最低点，而出定值的不等式则是在曲线a+b下面画了一条水平线，重合的点必然是最低点。

第三，你题中的方法，使用a+b≥2√ab=2√(a+b+1)这一不等式中的a=b确定的并不是最小值，而是这个等式成立的条件，最小值为min2√(a+b+1)，只是恰好a+b≥2√(a+b+1)这个不等式自身能给出了a+b的最值a+b≥2+2√2（对应a=b恰好满足最值条件a-1=b-1）

综上，不等式恒成立，在应用中可以正常使用，只要a>0,b>0；求最值使用时尽可能使一边为定值，否则，a=b给出的仅是不等式成立的条件，而未必是最值的条件。
PS：作为反例y=x²+4/x≥4√x，则是典型的，曲线4√x在曲线x²+4/x的下方，x²=4/x时两曲线相切，但不是最小值点，随着x的减小，两曲线继续下降，只是4√x下降的更快，在取最小值x²=2/x时，4√x比x²+4/x的最小值还要小，即不等式x²+4/x≥4√x没有错，只是这种应用给不出最小值。所谓使不等式一边为定值的说法，不是不等式成立的条件，而是我们应用的一种指导原则。追问

这种说法和楼上又不一样了,不过还是感觉楼上的貌似比较合理啊, LePAc你看过楼上的分析后,有什么想法没有?

追答

我认为我和楼上说都没错
本问题是两个方面
1、公式a+b≥2√ab（a>0,b>0)恒成立，和两边是否为定值没有关系
2、“一边为定值”是对求最值的一种建议原则，在这种条件下，必然能求出最值；不符合时，能否求出最值未定，许多情况下是求不出的。
我和楼上的对反例的分析是一致的，即使用x²+4/x≥4√x是在没有应用“一边为定值”的情况下无法求解最值的例子，而你的解题法恰是没有遵守该原则下求出最值的一种情况。只是我的图像法更形象分析了为何“一边为定值”作为求最值指导原则的意义。

再说一次：a+b≥2√ab，a=b是等号成立的条件，未必是a+b或ab取最值的条件，使用“一边为定值”是对这一不等式的一种附加条件的应用，使得这一不等式可以求出a+b或ab的最值

追问

谢谢

Answer 3

首先你是个好学生，能够比较清晰的表达出自己的意思。
对于代数式而言，随着式中未知数的变化，其值就会发生变化，而这个变化就会有一定的范围，如果不是在负无穷到正无穷，就会产生极大值（最大值，极值可能有很多个，最大值只有一个），或极小值。
对于现在你学习的不等式来说，有根号的就要求未知数大于0，因为小于0时，在你目前学习范围内，根号没意义。
代数式变成等式之后，最让人着迷的地方在于推导变形，把一种形式变换成另外一种形式，这个过程有时候也是个化简的过程。
而代数不等式能够成立，要满足一定的条件，只要满足这个条件，在什么情况下都可以使用它，不管里面有没有未知数。
在代数等工化简的过程中，只要未知数符合了不等式的条件，就可以运用不等式，将其加到等式的两端，使其变为不等式。
因此，运用不等式最关键的是，符合不等式的成立的条件就可以了，与有没有未知数没有关系。
为什么要一方为定值呢？
实际上你现在没有学习函数，其实每个代数式都是为函数而服务的。比如Y＝a+b就是一个函数，这个函数随着a、b取值的变化而变化，那么Y最大是多少，最小是多少呢，这就是求最值的问题。
其实求函数的最值有很多种解析方法，但限与你们现在所学，不能用其他方法，就只能用代数式变形，或是不等式的方法求最值。它只是一种方法，而不是全部方法，但这却是最基本的方法。希望这些对你的理解有用处。
最后补充一句，求最值的时候，你不需要知道未知数的大小，你只要用一定的方法知道最值是多少就行了，不等式是一种有效的手段。追问

函数是有学的,只是没有太深入,你回答的方式,你是老师吧?谢谢

追答

是的，我看你写问题的方式，和对问题把握的深度，对于问题的描述准确，感觉你是一个非常了不起的学生。什么时候有定值，什么时候没定值，要视情况而定，那就是根据题目中的条件，允许不允许有定值。换句话说，就是根据题目中的条件，能不能求出来最值。如果换成了函数，除了不等式的方式外，还有很多种方法来求最值。但是对于代数式来说，只有变形和运用不等式了。

追问

谢谢

Answer 4

事实上，定值这种说法只不过是一些没本事的老师为了不让学生搞混而自创的一种说法，(就像初中里全等判定中的SSA不可以那样),为什么不是定值容易错，其实是因为不是定值的话你可能会对x,y再一次使用均值不等式，然而此时问题就来了，因为你使用的两次均值不等式等号不一定能同时取到，比方x,y正数x+y=1,求x^2+y^2+1/xy最小值，x^2+y^2≥2xy,原式≥2xy+1/xy≥2√2
这看似是对的，然而由于第一次的“放缩”等号成立条件是x=y=1/2但第二次却是(xy)^2=1/2所以两次等号不能同时取到，求出的2√2也只是一个虚假的最小值，事实上是不成立的。然而如果你在证明的步骤中能指出每一次的等号都能取到，那么就无需考虑什么定值不定值的问题。

(另外，LZ要注意所谓的1正，2定，3相等，这句话很扯，首先，LZ要了解二元均值不等式的特殊之处，x^2+y^2≥2xy无论何时都成立,(x+y)^2≥4xy同样也无论x,y正负，始终成立的，因为这是配方得来的,从这里就可以看出一些老师对学生的误导，对于一些本质的问题的无视，就像我之前提到的，初中说两边一对角不能判定全等，却从不说当这个对角是钝角是那两个三角形的确全等，大概这两者也是一样的道理。最后若LZ对不等式由兴趣，可以去了解一下一些高级一点的方法，比方逐步调整法，磨光法，导数调整法，求偏导，利用定积分的几何意义，切线法等等等,这些方法都相当万能，还可以了解一些著名的不等式，比方柯西(常用)，琴生(少)，切比雪夫，舒尔(万能)，卡尔松等等。)追问

导数方法和柯西不等式我们的的教材都有要求的,其他的没见过啊,我百科看看,谢谢诶

Answer 5

楼主第一只要用到均值不等式都要符合正定等的条件
例如证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 这才是正确的
像四楼解，那才成立，那才符合正定等。
但是你的做法也不能说错，严谨的说你用到的的确不是均值不等式，而是它的变形，用它做了一巧妙的过渡，这种过渡又是正确的，允许的，也符合数学推理
你这道题目的解法跟你举例的那个根本不是同一个性质的题目，你们的目的是不同的，你举例的那个是为了求最值，你上面那个只是一个过渡
还有就是最后的那位说那个三角形定理，不对吗，我真不懂，人家不是说要两边和那个夹角吗，重点是夹角，我不是怀疑你的能力，你们爱思考是好事，但数学的定理经过了多少数学家的反复证明才变成今天的，我们不能随便说不合理吧，在想定理本身的问题外，我们是否要考虑一下自己的问题呢。
数学博大精深追问

我大致明白了,"怎样才算是符合数学推理?能不能举个例子说明一下"我可以问这样的问题吗?但是感觉这种好像需要长期的经验才可以有的判断力吧?而我们就是缺乏这样的能力才常常会出现一些似是而非的解答方法吧?谢谢,我明天把你的回答拿去给老师看看,看看能不能从他那里得到什么信息

追答

推理主要有演绎推理和归纳推理。演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。
老实说我也不太清楚，但是推理的范围好大吧，做题的过程就是个推理。还是请教一下老师吧

追问

感谢