行列式展开定理怎么理解？

Question

如题所述

Answer 1

行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种简单情况，该行各元素分别乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值。

如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开，不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。

比如：行列式

D=|a11 a12 a13 a14|

|a21 a22 a23 a24|

|a31 a32 a33 a34|

|a41 a42 a43 a44|

a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列构成的新行列式，称为它的余子式。（是一个比原来行列式低一阶的行列式）

相关如下：

由三阶行列式的展开式(12-4) 及代数余子式，将三阶行列式D可表示为D= a21A21 + a22A22 + a23A23，此式称为行列式按第二行的展开式。同样，行列式也可按其他行或列展开，于是每个行列式可以表成它的某一行(或某一列)的每个元素与它对应元素的代数余子式乘积的和，即

D= ai1Ai1+ ai2Ai2 + ai3Ai3 ( i=1,2,3 )， (1)

D= a1jA1j+ a2jA2j + a3jA3j( j=1,2,3 )， (1')

把类似(1)式的展开称为行列式的依行展开式，把(1')式称为行列式的依列展开式。