数学中的单循环,双循环问题,公式

Question

如题所述

Answer 1

单循环问题：单循环就是指对某个变量 i 循环 n 次，从 i=1 开始，每次累加 1，直到 i=n。单循环问题通常用来求和、求平均值等。求和问题的单循环公式： $S=\\sum_{i=1}^{n}a_i$求平均值问题的单循环公式： $\\bar{a}=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}a_i$双循环问题：双循环就是指对两个变量 i 和 j 分别循环 n1 和 n2 次，从 i=1 和 j=1 开始，每次累加 1，直到 i=n1 和 j=n2。双循环问题通常用来处理多维数组或二维矩阵等。求多维数组中元素之和，双循环公式：$S=\\sum_{i=1}^{n1}\\sum_{j=1}^{n2}a_{i,j}$求二维矩阵中某一行或某一列的元素之和，双循环公式：对于求第 k 行的元素之和：$S_k=\\sum_{j=1}^{n2}a_{k,j}$对于求第 k 列的元素之和：$S_k=\\sum_{i=1}^{n1}a_{i,k}$其中，$a_{i,j}$ 表示数组中第 i 行第 j 列的元素，$n1$ 和 $n2$ 分别表示数组的行数和列数。

Answer 2

其实很简单：
单循环就是:1/2n(n-1)
双循环就是：n(n-1),如：
（1）双循环与单循环问题：
小田是个足球迷,他发现有的比赛是单循环的,就是每两个球队之间只赛一场；有的比赛是双循环的,每两个球队按主客场要赛两场,同时小田又是个数学迷,他想探究如果有n（n≥2）个球队进行双循环比赛,一共要赛多少场?
①小田觉得从特殊情况入手可能会找到灵感,于是他取n=2,要赛2场；n=3,赛6场；n=4,赛12场；那么n=5,要赛
20
场…,由此得出,n（n≥2）个球队进行双循环比赛,一共要赛
n（n-1）
场．
②聪明的小田由①中的结论,很快地得出n（n≥2）个球队单循环比赛场数为
n(n-1)2
；
（2）知识迁移：①平面内有10个点,且任意3个点不在同一条直线上,经过每两点画一条直线,一共能画
45
条不同的直线．②一个n边形（n≥3）有
n(n-3)2
条对角线．
（1）①当n=5时,每支球队与另外4支队伍比赛,共有4×5=20场比赛；
n支球队每支球队与其余队伍比赛n-1场,共有n（n-1）；
②单循环则为
n(n-1)
2
；
（2）①当平面上有2个点时,可以画
2×1
2
=
2×(2-1)
2
条直线；
当平面上有3个点时,可以画
3×2
2
=
3×(3-1)
2
=3条直线；
…
当平面上有n（n≥2）个点时,可以画
n(n-1)
2
条直线；
因此当n=10时,一共可以画（10×9）÷2=45条直线．
②过n边形（n≥3）的一个顶点可以作（n-3）条对角线,
这个n边形共有
n(n-3)
2
条对角线．
故答案为：20,
n(n-1)
2
；45,
n(n-3)
2 ．