中考数学专题复习——压轴题
1.（2008年四川省宜宾市）
已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；
（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ）
.
2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8， )，C(0， )，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.
3. （08浙江温州）如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于
，当点 与点 重合时，点 停止运动．设 ， ．
（1）求点 到 的距离 的长；
（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由．
4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN‖BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= (k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.
6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结 、 ，且a=3，b=2，k= ，求 的值．
8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 ．将直线 平移，平移后的直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E．
（1）将直线 向右平移，设平移距离CD为 (t 0)，直角梯形OABC被直线 扫过的面积（图中阴影部份）为 ， 关于 的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；
②当 时，求S关于 的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线 向左或向右平移时（包括 与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使 为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．
9.(2008山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
10.(2008山东烟台)如图，抛物线 交 轴于A、B两点，交 轴于M点.抛物线 向右平移2个单位后得到抛物线 ， 交 轴于C、D两点.
（1）求抛物线 对应的函数表达式；
（2）抛物线 或 在 轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线 上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线 上，请说明理由.
压轴题答案
1. 解：（ 1）由已知得： 解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以 , 即： ,所以 是直角三角形
所以 ,且 ,
所以 .
2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8， )，
∴ ，
∴
当点A´在线段AB上时，∵ ，TA=TA´，
∴△A´TA是等边三角形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
当A´与B重合时，AT=AB= ，
所以此时 .
(2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， .
(3)S存在最大值
○1当 时， ，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是 .
○2当 时，由图○1，重叠部分的面积
∵△A´EB的高是 ，
∴
当t=2时，S的值最大是 ；
○3当 ，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵ ，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是 ，此时t的值是 .
3. 解：（1） ， ， ， ．
点 为 中点， ．
， ．
，
， ．
（2） ， ．
， ，
， ，
即 关于 的函数关系式为： ．
（3）存在，分三种情况：
①当 时，过点 作 于 ，则 ．
， ，
．
， ，
， ．
②当 时， ，
．
③当 时，则 为 中垂线上的点，
于是点 为 的中点，
．
，
， ．
综上所述，当 为 或6或 时， 为等腰三角形．
4. 解：（1）∵MN‖BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即 ．
∴ AN＝ x． ……………2分
∴ = ．（0＜ ＜4） ……………3分
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD = MN．
在Rt△ABC中，BC ＝ =5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ． …………………5分
过M点作MQ⊥BC 于Q，则 ．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ， ．
∴ x＝ ．
∴ 当x＝ 时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN‖BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜ ≤2时， ．
∴ 当 ＝2时， ……………………………………8分
② 当2＜ ＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN‖AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN‖BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．
∴ ． ……………………………………………… 9分
＝ ．……………………10分
当2＜ ＜4时， ．
∴ 当 时，满足2＜ ＜4， ． ……………………11分
综上所述，当 时， 值最大，最大值是2． …………………………12分
5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,- ）
(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形
②可能是矩形，mn=k即可
不可能是正方形，因为Op不能与OA垂直.
解：（1）作BE⊥OA，
∴ΔAOB是等边三角形
∴BE=OB•sin60o= ，
∴B( ,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为 ,所以 ,解得 ,的以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB•sin60o= ，∴B( ,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为 ,所以 ,解得 ,
以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°
∴GD= BD= ,DH=GH+GD= + = ,
∴GB= BD= ,OH=OE+HE=OE+BG=
∴D( , )
(3)设OP=x,则由（2）可得D( )若ΔOPD的面积为：
解得： 所以P( ,0)
7. 解:
(1)① ………………………………………………………………2分
② 仍然成立 ……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形 、四边形 都是正方形
∴ ， ，
∴ …………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2） 成立， 不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形 、四边形 都是矩形，
且 ， ， ， ( ， )
∴ ，
∴
∴ ………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵ ， ，
∴ ………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………………1分
8. 解：
（1）① ……………………………………………………………………………2分 ， ，S梯形OABC=12 ……………………………………………2分
②当 时，
直角梯形OABC被直线 扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积
…………………………………………4分
（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分 …（每个点对各得1分）……5分
对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：
① 以点D为直角顶点，作 轴
设 . （图示阴影）
，在上面二图中分别可得到 点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
② 以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得 点的生标为P（－ ，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得 点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线 的中垂线方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解得 ；
第二类如上解法②中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解之得 ，
第三类如上解法③中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 解得
（ 与 重合舍去）．
综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出 设 ，则P点的情形如下
直角分类情形
9.
10.
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