正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM⊥MN

Question

如题所述

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．

（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴ AB:MC=BM:CN，即4/4-X=X/CN ，
∴ CN=-X²+4X/4，
∴y=S梯形ABCN= 1/2（-X²+4X/4 +4）•4
=- 1/2x²+2²+8
=- 1/2（x-2)²+10，
当x=2时，y取最大值，最大值为10．

（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有AM:MN=AB:BM ，
由（1）知AM:MN=AB:MC ，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2