什么是分部积分法？

Question

如题所述

Answer 1

定义微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv
=
uv
-
∫vdu
+
c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：
(uv)'=u'v+uv'求导公式
：
d(uv)/dx
=
(du/dx)v
+
u(dv/dx)
写成全微分形式就成为
：d(uv)
=
vdu
+
udv
移项后，成为：udv
=
d(uv)
-vdu
两边积分得到：∫udv
=
uv
-
∫vdu
例：∫xcosxdx
=
xsinx
-
∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a
u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x)
-
∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a-
∫b/a
v(x)u'(x)dx
简记作
∫b/a
uv'dx=[uv]b/a-∫b/a
uv'dx
或∫b/a
udv=[uv]b/a-∫b/a
vdu例如∫1/0arcsin
xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0
xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

Answer 2

就是有的时候直接积分积不出来，然后利用积法则
即
d(uv)=u'v+uv'
两边积分就有
uv=∫
u'vdx+∫uv'dx
例如积∫lnxdx
不是很好直接积，但是利用分部积分就很容易
令u'=1,v=lnx
我们就有u=x
所以
xlnx=∫lnx
dx+∫x*(lnx)'dx
xlnx=∫lnx
dx+∫1dx
∫lnx
dx=xlnx-x+C
此即为分部积分
通常写成
∫
u'vdx=uv-∫uv'dx