几何求证题

Question

矩形ABCD中，CE⊥BD，AM平分∠BAD交EC的延长线于M，求证：CM=BD
另外再追加100分加两题哈：（每题50分）
2、形ABC，过C点作过AB的任意一直线交AB于点F，与边BC的中线AD交于点E。求证：AE：ED=2AF：FB
3、如下图所示：

Answer 1

证明：
连接AC，延长CF交AM于点F
易得：
∠FCM=∠DCE=∠CBD=∠CAD，∠AFD=∠BAF=45°
∵∠M+∠FCM=45°，∠CAM+∠CAD=45°
∴∠M=∠CAM
∴CA=CM
因为ABCD是矩形
所以AC=BD
∴BD=CM

2 因为AD为中线，所以BD=DC=5，在三角形ABD中，算得AB^2=BD^2+AD^2
则角ADB=90 则三角形ACD为RT三角形，由勾股算得AC=13
所以AB=AC=13
3 B1C1=3.25（1为角标）
在RT三角形中，角A为30度，所以BC=1/2*AB=5
因为角ACB=90，所以角A+角B=90 因为角CB1B=90度，所以角B+角BCB1=90度
所以角A=角B1CB=30度（同角的余角相等）
则B1B=1/2*BC=1/2*5=2.5,则AB1=10-2.5=7.5
在RT三角形AC1B1中，角A=30度，所以B1C1=1/2*AB1=1/2*7.5=3.25
(*为乘，1为角标）

Answer 2

1、过M做AB垂线MP交AB延长线于P

∠BAD的平分线AM，∠BAD=RT∠

所以∠AMP=∠MAP=45°

因为BC平行MP

有∠ECB=∠EMP=∠CDB=∠CAB

所以∠EMP-∠AMP=∠CAB- ∠MAP

所以∠MAC=∠AMC

所以CM =AC=BD

Answer 3

连AC交BD于O

∵ABCD是矩形

∴AC=BD,OD=OA,∠BAD=90°

∴∠ODA=∠OAD, ∠COE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD

∵AM是角平分线

∴∠MAD=∠BAD/2=45°

∴∠OAD=∠MAD-∠CAM=45°-∠CAM, ∠COE=2(45°-∠CAM)=90°-2∠CAM

∴2∠CAM+∠COE=90°

∵EM⊥BD

∴∠ACE+∠COE=90°

∴∠ACE=2∠CAM

∵∠ACE=∠CAM+∠CMA

∴∠CAN=∠CMA, CA=CM

∴CM=BD

Answer 4

证明：
连接AC，延长CF交AM于点F
易得：
∠FCM=∠DCE=∠CBD=∠CAD，∠AFD=∠BAF=45°
∵∠M+∠FCM=45°，∠CAM+∠CAD=45°
∴∠M=∠CAM
∴CA=CM
因为ABCD是矩形
所以AC=BD
∴BD=CM

Answer 5

证明：过A点作AF⊥BD于F
∵矩形ABCD
∴AC＝BD，OA＝ AC，OD＝ BD
∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA
∵∠BAD＝90°，AF⊥BD
∴∠BAF＋∠ABD＝90°
∠ADB＋∠ABD＝90°
∴∠BAF＝∠ADB（同角的余角相等）
∴∠BAF＝∠OAD
∵∠BAM＝∠DAM
∴∠BAM－∠BAF＝∠DAM－∠OAD
即 ∠1＝∠2
又∵ME⊥BD，AF⊥BD
∴AF‖ME
∴∠2＝∠M
∴∠1＝∠M
∴AC＝CM
∴BD=CM
、证明：过D作DG//CF交AB于G

∵DG//CF

∴∠DGB=∠CFB，∠DGA=∠EFA

又∵∠DBG=∠CBF，∠DAG=∠EAF

∴△DBG∽CBF，△DAG∽△EAF

∴BG:BF=BD:BC(即GF:BF=DC:BC)，GA:FA=DA:EA(即GF÷FA=DE÷EA)

∵AD是△ABC的中线

∴D为BC的中点

∴BD=DC，即DC:BC=1:2

∴GF:BF=1:2，即BF÷GF=2

必有(BF÷GF)×(GF÷FA)×(FA÷BF)=(BF÷BF)×(GF÷GF)×(FA÷FA)=1

把BF÷GF=2和GF÷FA=DE÷EA代入，替换BF÷GF和GF÷FA，得：

2×(DE÷EA)×(FA÷BF)=1

上式变形可得

2×(FA÷BF)=EA÷DE

即AE:ED=2AF:FB