极限四则运算法则拆分的疑惑？

Question

lim(x→0)[ 1/x-(1-2x/arctanx)]=lim(x→0)[ 1/x-(1-2x/x)]=lim(x→0)[ 1/x-1/x+2]=2这个极限能否直接用X代替arctanx（考虑用等价无穷小）,然后1/x相互抵消得到结果是2？另外以下式子中加粗的部分lim(x→0)[(1-2x)/arctanx]=lim(x→0)[1-2x)/x]=lim(x→0)[1/x]-lim(x→0)2=∞利用极限四则运算法则拆分的对吗（虽然极限不存在）？只要其中一个式子存在极限就能拆，还是必须全部存在极限才能拆呢?

Answer 1

第一题，我算的答案还是2，但是你的想法是有问题的，当要代换的部分与式子的局部是相加减的关系时，不能用等价无穷小。此式是典型的∞+∞型，通分，满足洛必达法则条件，用两次洛必达法则即可得。不知道有没有人用泰勒公式解的啊，可以试试。第二题，当你对局部取了极限又将此极限带回去运算一般都是错的，而且你会发现对不同局部取极限再带回去运算能得出好多种答案。想要对一个部分取极限时，必须将所有的式子同时取极限。一般是判断这个式子是什么型的时候用，或是最后得结果的时候用。

Answer 2

等价无穷小只能用在乘除法，不能用在加减法。还有就是等价无穷小一般都是和洛必达法则一起用的，而洛必达法则只能用在0/0或∞/∞，∞+∞必须先通分，分子为：arctanx-x+2x，这里有个小技巧告诉你，x→0时的arctanx的泰勒展开试：arctanx=x-1/3x+o（x），所以arctanx-x+2x~2x，这里你一定会问为什么，这就是技巧所在，因为在无穷小的比较中有一个规律就是高阶的无穷小会被低阶的无穷小吸收，记住狠重要的噢！分子是2x，分母的xarctanx用等价无穷小后是x，答案直接得2！根本不用洛必达法则，泰勒公式考研狠重要的，最常见的泰勒公式一定要记住！本回答被网友采纳