有关微分方程的一道解 对结果有疑惑

Question

有关微分方程的一道解 对结果有疑惑 为什么是C（x+1）^2 为什么不是C+（x+1）^2

Answer 1

zx=f'(e^xcosy)*e^xcosy zxx=f''(e^xcosy)(e^xcosy)^2+f'(e^xcosy)*e^xcosy zy=f'(e^xcosy)*e^x(-siny) zyy=f''(e^xcosy)*[e^x(-siny)]^2+f'(e^xcosy)*e^x(-cosy) zxx+zyy=f''(e^xcosy)(e^xcosy)^2+f'(e^xcosy)*e^xcosy+f''(e^xcosy)*[e^x(siny)]^2-f'(e^xcosy)*e^xcosy =f''(e^xcosy)e^(2x) =4[f(e^xcosy)+e^xcosy]e^(2x) f''(u)=4f(u)+4u f''-4f=4u 齐次解：r^2-4=0 r=-2,2 f=Ae^(2u)+Be^(-2u) 非齐次解：f=-u 因为右端是一次函数 f=Ae^(2u)+Be^(-2u)-u u=0,f=A+B=0 f'=2Ae^(2u)-2Be^(-2u)-1 u=0,f'=2A-2B-1=0 A=1/4,B=-1/4 所以 f(u)=(1/4)e^(2u)-(1/4)e^(-2u)-u