如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，点B、C、D在一条直线上，点M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接D

Question

如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，点B、C、D在一条直线上，点M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q，直线PQ分别交AB、DE于F、G两点，下列结论：①BM⊥DM；②四边形AFGE为平行四边形；③FP+GQ=PQ；④AF2=BF?DG．正确的结论有（　　）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④

Answer 1

解：①过点M作MN⊥BD，垂足为N，则MN∥DE∥AB，
∵点M是AE的中点，
∴N为BD中点，即MN垂直平分BD，
∴BM=DM．
∵MN是梯形ABDE的中位线，
∴MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD）=

1

2

BD=BN=ND，
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM，故①正确；

②∵△BMD、△ABC均是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠ACB=45°，
∴∠BPC=90°，即BP⊥AC，
∴AP=PC，
同理EQ=QC，
∴PQ是△CAE的中位线，
∴PQ∥AE，PQ=

1

2

AE，
又∵AF∥EG，
∴四边形AFGE为平行四边形，故②正确；

③∵四边形AFGE为平行四边形，
∴FG=AE，
∵PQ=

1

2

AE，
∴FP+GQ=FG-PQ=AE-

1

2

AE=

1

2

AE=PQ，
即FP+GQ=PQ，故③正确；

④∵∠ACB=∠MDB=45°，
∴AC∥DM，
∴∠CPQ=∠MQP，
∵∠APF=∠CPQ，∠MQP=∠DQG，
∴∠APF=∠DQG，
∵∠FAP=∠GDQ=45°，
∴△APF∽△DQG，
∴

AF

DG

=

PF

QG

，
同理△BPF∽△EQG，
∴

PF

QG

=

BF

EG

，
∴

AF

DG

=

BF

EG

，
∴AF?EG=BF?DG，
∵?AFEG中，AF=EG，
∴AF²=BF?DG，故④正确．
故选D．