几个关于数值积分的疑问，请懂行的大侠帮忙一起分析下哈，不甚感激

Question

1、 分别用Lagrenge插值法、牛顿插值法求同一个函数的n次插值多项式结果是否一样？它们各有何优点？
2、叙述复化梯形公式的基本思想。复化梯形公式在什么条件下一定收敛？
3、试叙述不动点迭代法的基本思想。不动点迭代是否一定收敛？

Answer 1

1.一样，这是由插值多项式的惟一性决定的；Lagrange插值多项式具有结构紧凑，便于编程等优点，牛顿插值法的最大优点是具有承袭性质，当增加插值节点时，新的插值多项式只是在原插值多项式的基础上增加一项，而且牛顿插值余项也可以用函数差商来表示。

2.把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用梯形公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的积分近似，这就是复化梯形公式的基本思想。复化梯形公式在区间足够多的条件下一定收敛。

3.没听说过不动点迭代法

参考资料：数值分析 张铁 闫家斌编

Answer 2

在n+1个互异点，构造不超过n次的多项式，结果才唯一，否则肯定是有区别的。
梯形积分是把积分曲线面积近似成一个梯形面积来求，而复合梯形积分就是把积分曲线的面积分成很多竖着的小梯形来近似。数值积分据我所知，都是收敛的，因为选定区间算面积，只要积分曲线是连续的，总能求出近似的值，甚至准确值。只是不同的算法收敛速度不同而已，到最后都收敛。
不动迭代点的迭代方程求个导，然后在定义域中随意取个点代入，如果值小于1，就一定是收敛的。

Answer 3

1、2两个问题楼上回答的还是很对的。第3个问题我的看法是：其思路是将解非线性方程的根f(x)=0的问题转化成其等价的不动点方程x=g(x),此时若p满足f(p)=0,则p也一定满足p=g(p),反之亦然。由不动点方程建立迭代法的迭代公式pn+1 =g(pn) n=0,1,……这里的p0称为初值，是预先给定的，可以通过二分法来确定一个不动点迭代法的初值，这也是二分法作用的一个体现。由迭代公式可以得出近似解的序列，可以根据迭代停止的条件终止迭代得到满足精度要求的近似解，也就是非线性方程f(x)=0的近似根。
不动点迭代法不是一定收敛的，它需要满足一定的条件，根据压缩不动点定理可以知道当g(x)一阶导数的绝对值<1的时候收敛，这是讲全局收敛性。但全局收敛性判断起来有点难，我们可以只考察其不动点p附近的局部收敛性，即g(x)的一阶导函数在p的邻域上连续，且g(p)的一阶导数值的绝对值<1,那么不动点迭代法局部收敛。
上面的内容我是直接手打的，所以一些公式和符号没打出来，你自己领会下！希望这个答案你会满意！