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实对称矩阵的秩与特征值的关系
矩阵
A
的秩和
它的
特征值
有怎样
的关系
?
答:
1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。2、A的秩不小于A的非零
特征值的
个数。证明:定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2:设A为n阶
实对称矩阵
,则A必能相似对角化。定理3:设A为n阶实对称矩阵,
矩阵的秩
r(A)=k,(0<k<n,k为正整数),则λ=0恰...
为什么
实对称矩阵的秩
等于非零
特征值的
个数
答:
实对称矩阵
必可相似对角化
矩阵的秩与特征值
之间有什么
关系
?由A的秩是2怎么得出那三个
特征值的
...
答:
两个相似矩阵,两者的秩相等;在相似对角化,B为对角矩阵,而对角矩阵由矩阵的
特征值
组成,可以对角矩阵中是否有0的特征值,就可以推出原
矩阵的秩
为多少。因为A为
实对称矩阵
,由其性质可以知道n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。而且可以知道A的特征值不是0就是1,...
3阶
实对称矩阵秩
为2,为什么有一个
特征值
为0
答:
因为
实对称
可以对角化,相似与以
特征值
为对角元素的对角矩阵。而相似
矩阵的秩
相等,所以必有一个特征值为 0
3阶
实对称矩阵秩
为2,为什么有一个
特征值
为0
答:
对称矩阵的
特征值都是实数,而且矩阵R为2则行列式为0,根据
特征值的
积为行列式的值所以必有0特征值。
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
实对称矩阵
一定满
秩
吗
答:
实对称矩阵具有很多重要的性质:所有实对称矩阵都可以对角化。对于任何两个不同
特征值
所对应的特征向量,它们是正交的。对于实对称矩阵而言,对角化的过程可以通过正交变换来完成。
实对称矩阵的秩
现在,我们回到本文的主题,即实对称矩阵的秩。结论是,实对称矩阵一定是满秩的,除非它是一个零矩阵。为什么...
设A是3阶
实对称矩阵
,
秩
为2,若A^2=A,则A的
特征值
为?详细解析
答:
秩为2,也就意味着3阶
实对称矩阵
A有两个不同的
特征值
,其中一个是重特征值。A^2=A A^2-A=0 λ^2-λ=0 λ(λ-1)=0 λ=0或者λ=1 当λ=0为矩阵A的二重特征根时,λ1=λ2=0 ,λ3=1,但此时矩阵A
的秩
为1,所以不成立。当λ=1为矩阵A的二重特征根时,λ1=λ2...
请问
矩阵的特征值的
个数
和
什么有关
答:
矩阵的秩与
矩阵的
特征值
个数是没有
关系
的。n阶矩阵在复数范围内,一定有n个特征值(重特征值按重数计算个数),从这个意义上说,矩阵的特征值个数与矩阵的阶数倒是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。但是有一个重要的结论需要知道:n阶
实对称矩阵
一定有n个实特征值(重特征...
特征值
为0与
矩阵的秩
之间有什么联系~
答:
如果矩阵可以对角化,那么非0
特征值的
个数就等于
矩阵的秩
;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了 比如矩阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 的特征值全为0,但秩为3
如何证明
实对称矩阵
A的非零
特征值的
个数等于它
的秩
?
答:
这个结论不依赖于A是否
对称
,事实上 考虑方程Ax=0=0x,即此方程的解都是属于0
特征值的
特征向量。设它的基础解系有k个线性无关的向量,则他们是k个线性无关的属于0的特征向量。从而0特征值有k重,非零特征值有n-k个。又我们知道k=n-r,其中r为A
的秩
,从而r=n-k,即A的非零特征值的个数...
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