△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点D在AC上，点F在BC上，且DE⊥DF 连接EF，若AB=4，那么EF的最小

Question

△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点D在AC上，点F在BC上，且DE⊥DF
连接EF，若AB=4，那么EF的最小值是 .
O是斜边AB的中点

Answer 1

解答：连接DC，
∵D点是斜边中点，
则AD=CD=BD=½AB=2，∠A=45°=∠FCD，
∠ADE＋∠EDC=90°=∠EDC＋∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF﹙ASA﹚，
∴DE=DF，
∴直角△EDF是等腰直角△，
∴要使EF最短，则只要DF最短，
在直角△ABC内，要使DF最短，
只有DF⊥CB时，DF才最短，
∴EF才有最小值，
当DF⊥CB时，DE⊥AC，
这时候，F点是CB中点，E点是CA中点，
∴EF是中位线，
∴EF=½AB=2.

Answer 2

∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，AB=4
∴CD是AB边上的中线和高，是∠ACB的角平分线
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD=CD=AB/2=2
∵DE⊥DF，∠EDF=∠CDB=90°
∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF
又：∠ECD=∠FBD=45°，BD=CD=2
∴△ECD 全等 △FBD
∴DE=DF，EC=FB
∴△EDF也是等腰直角三角形
∴EF = √2 DF
BC=AB*√2/2 = 2√2
设FB=x，x∈（0， 2√2）
则DF^2 = BD^2+BF^2-2*BD*BF*cos45° = 2^2+x^2-2*2*x*√2/2 = x^2-2√2x+4 = (x-√2)^2+2
DF = √ [ (x-√2)^2+2]
当x = √2时，DF有最小值√2
此时EF有最小值=√2*DF=√2*√2 = 2

Answer 3

应该是“△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且DE⊥DF
连接EF，若AB=4，那么EF的最小值是__________。”吧！
答案：EF的最小值是AB/2=2。

Answer 4

建立以C为原点的直角坐标系，A( ,0)B(0， )O( ,)
设E(a，0)F(0,b)
EF^2=a^2+b^2
OE⊥OF
a+b=2bei de gehao2

最小值为2 数形结合也可以就是中位线

Answer 5

题目有误,AC上的点是E不是D,如果这样的话,答案是2.

Answer 6

E在哪里？